Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Alan

Kenar uzunlukları 1010 cm, 1717 cm ve 2121 cm olan bir çeşitkenar üçgenin en uzun kenarına ait yüksekliği kaç santimetredir?

  1. A
    6
  2. 8Cevap
  3. C
    12
  4. D
    15
  5. E
    84

Cevap

En uzun kenara (21 cm) ait yükseklik 8 cm'dir.
Üçgenin kenarları 10, 17 ve 21 cm'dir. En uzun kenar 21 cm olduğundan, bu kenara inen yükseklik sorulmaktadır. Önce Heron formülüyle alan hesaplanır: u=(10+17+21)/2=24u = (10+17+21)/2 = 24. Alan = 24⋅3⋅7⋅14=84\sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = 84 cm². Sonra A=(taban⋅yu¨kseklik)/2A = (taban \cdot yükseklik)/2 formülünden 84=(21⋅h)/284 = (21 \cdot h)/2 denklemi kurulur ve h=8h=8 bulunur. Alternatif olarak, yükseklik tabanı xx ve 21−x21-x olarak böler; 102−x2=172−(21−x)210^2 - x^2 = 17^2 - (21-x)^2 denkleminden x=6x=6 ve h=8h=8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin kenar uzunlukları a=21a=21, b=17b=17, c=10c=10 olarak belirlenir. Yarı çevre (uu) hesaplanır.
u=10+17+212=482=24u = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24 cm.
Heron alan formülünü kullanmak için yarı çevreye ihtiyaç vardır.
2
Heron formülü ile üçgenin alanı (AA) hesaplanır: A=u(u−a)(u−b)(u−c)A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}.
A=24⋅(24−21)⋅(24−17)⋅(24−10)=24⋅3⋅7⋅14A = \sqrt{24 \cdot (24-21) \cdot (24-17) \cdot (24-10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14}. Çarpanlara ayrılarak kök dışına çıkarılır: A=(8⋅3)⋅3⋅7⋅(2⋅7)=16⋅9⋅49=4⋅3⋅7=84A = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot 3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84 cm².
Üç kenarı bilinen üçgenin alanını bulmanın en garantili yolu Heron formülüdür.
3
Alan formülü (A=12⋅taban⋅yu¨kseklikA = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}) kullanılarak en uzun kenara (2121 cm) ait yükseklik (hh) bulunur.
84=12⋅21⋅h⇒168=21⋅h⇒h=884 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h \Rightarrow 168 = 21 \cdot h \Rightarrow h = 8 cm.
Bulunan alan değeri ile taban uzunluğu kullanılarak yükseklik elde edilir.

Anahtar Kavram

Heron Alan Formülü ve Yükseklik Bağıntısı

İpuçları

1
Üç kenar uzunluğu verilen bir üçgenin alanını bulmak için Heron formülünü veya yüksekliği bulmak için Pisagor bağıntısını (tabanı ikiye bölerek) kullanabilirsiniz.
2
Önce üçgenin alanını hesaplayın. Yarı çevre u=(10+17+21)/2u = (10+17+21)/2 formülünü kullanın.
3
Alan = 84 cm² çıkacaktır. Şimdi Alan=(Taban×Yu¨kseklik)/2Alan = (Taban \times Yükseklik) / 2 formülünde taban olarak en uzun kenarı (21 cm) kullanarak yüksekliği çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde kenarları 13, 14, 15 cm olan üçgenin alanını ve yüksekliklerini bulunuz.

Alternatif Yöntem

Tabanı xx ve 21−x21-x olarak ayıran dikme çizilip iki denklem kurulabilir: h2+x2=102h^2 + x^2 = 10^2 ve h2+(21−x)2=172h^2 + (21-x)^2 = 17^2. Bu denklem sisteminden x=6x=6 bulunur, yerine konulursa h=8h=8 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru