Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBinom Açılımı
(x+y)n(x + y)^n ifadesinin binom açılımında baştan dördüncü terim ile baştan onuncu terimin katsayıları birbirine eşittir.

Buna göre, bu açılımda toplam kaç terim vardır?

  1. A
    11
  2. B
    12
  3. 13Cevap
  4. D
    14
  5. E
    15

Cevap

Binom açılımında katsayıların simetri özelliği ve terim sayısı kuralına göre açılımda 13 terim bulunmaktadır.
Binom açılımında baştan dördüncü terimin katsayısı (n3)\binom{n}{3}, baştan onuncu terimin katsayısı ise (n9)\binom{n}{9}'dur. Bu katsayılar birbirine eşitse kombinasyonun simetri özelliği gereği n=3+9=12n = 3 + 9 = 12 olmalıdır. Açılımdaki terim sayısı n+1n+1 formülüyle hesaplandığı için 12+1=1312 + 1 = 13 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin kombinasyonel karşılıklarını belirleme
Baştan 4. terim için r=3r = 3, baştan 10. terim için r=9r = 9 olur.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim (nr)\binom{n}{r} katsayısı ile hesaplanır.
2
Katsayıların eşitliğini denklem olarak yazma
(n3)=(n9)\binom{n}{3} = \binom{n}{9}
Soruda dördüncü ve onuncu terimlerin katsayılarının eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Kombinasyon özelliğini kullanarak nn değerini bulma
n=3+9=12n = 3 + 9 = 12
(na)=(nb)\binom{n}{a} = \binom{n}{b} eşitliğinde a≠ba \neq b ise n=a+bn = a + b kuralı geçerlidir.
4
Açılımdaki terim sayısını hesaplama
12+1=1312 + 1 = 13
(x+y)n(x+y)^n açılımında toplam n+1n+1 tane terim bulunur.

Anahtar Kavram

Binom Katsayılarının Simetrisi ve Terim Sayısı

İpuçları

1
Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinde baştan kk. terimin katsayısının (nk−1)\binom{n}{k-1} olduğunu hatırlayın.
2
(n3)=(n9)\binom{n}{3} = \binom{n}{9} eşitliği size nn değerini bulduracaktır.
3
Bulduğunuz nn değerine 1 ekleyerek açılımdaki toplam terim sayısına ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Binom açılımında ortanca terimin katsayısını bulma sorularını inceleyerek simetri konusunu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru