Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir kamu kurumunda çalışan memurlara, sicil numaralarına göre belirli sayıda evrak dağıtılmaktadır. Sicil numaraları 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n olan memurlardan; sicil numarası en küçük olan 1010 memura dağıtılan toplam evrak sayısı AA, sicil numarası en büyük olan 1010 memura dağıtılan toplam evrak sayısı BB olarak belirlenmiştir. Her memura sicil numarası kadar evrak verildiği ve B−A=200B - A = 200 olduğu bilindiğine göre, bu kurumda toplam kaç memur çalışmaktadır?

  1. A
    25
  2. B
    29
  3. 30Cevap
  4. D
    31
  5. E
    35

Cevap

Kurumda çalışan toplam memur sayısı 3030 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 3030 değeri, ilk 1010 memurun toplamı olan 5555 ile son 1010 memurun (21,22,…,3021, 22, \dots, 30) toplamı olan 255255 arasındaki farkın tam olarak 200200 olmasını sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük sicil numarasına sahip 1010 memurun evrak toplamını (AA) hesaplayınız.
A=1+2+3+⋯+10=10×112=55A = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55
Sicil numaraları 11'den başladığı için ilk 1010 terim 11'den 1010'a kadar olan tam sayılardır.
2
En büyük sicil numarasına sahip 1010 memurun evrak toplamını (BB) nn cinsinden ifade ediniz.
B=n+(n−1)+(n−2)+⋯+(n−9)=10n−(1+2+⋯+9)=10n−45B = n + (n-1) + (n-2) + \dots + (n-9) = 10n - (1+2+\dots+9) = 10n - 45
Son 1010 memurun sicil numaraları nn'den başlayarak geriye doğru n−9n-9'a kadar olan sayılardır.
3
B−A=200B - A = 200 eşitliğini kullanarak nn değerini çözünüz.
(10n−45)−55=200⇒10n−100=200⇒10n=300⇒n=30(10n - 45) - 55 = 200 \Rightarrow 10n - 100 = 200 \Rightarrow 10n = 300 \Rightarrow n = 30
Verilen fark ilişkisi toplam memur sayısını veren denklemi oluşturur.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı ilişkisi

İpuçları

1
İlk 1010 memurun sicil numaraları 1,2,3,…,101, 2, 3, \dots, 10 şeklindedir.
2
Son 1010 memurun sicil numaralarını n,n−1,…,n−9n, n-1, \dots, n-9 olarak ifade edip toplayın.
3
Son gruptaki her bir terim ile ilk gruptaki karşılık gelen terim arasındaki farkın (n−10n-10) olduğunu fark ederseniz denklemi daha hızlı kurabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Ardışık çift veya tek sayıların farkları üzerine kurulu senaryoları inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik bir yol olarak; son 1010 memurun her biri, ilk 1010 memurun her birinden tam olarak (n−10)(n-10) fazladır. Toplamda 1010 memur olduğu için fark 10×(n−10)=20010 \times (n-10) = 200 olmalıdır. Buradan n−10=20n-10=20 ve n=30n=30 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru