Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣x=3k+1, k∈Z}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 3k + 1, \, k \in \mathbb{Z} \}
B={x∈Z∣x=4m+2, m∈Z}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x = 4m + 2, \, m \in \mathbb{Z} \}

Buna göre, A∩BA \cap B kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    { x ∈ ℤ | x = 7n + 3, n ∈ ℤ }
  2. B
    { x ∈ ℤ | x = 12n + 1, n ∈ ℤ }
  3. C
    { x ∈ ℤ | x = 12n + 2, n ∈ ℤ }
  4. { x ∈ ℤ | x = 12n + 10, n ∈ ℤ }Cevap
  5. E
    { x ∈ ℤ | x = 12n + 6, n ∈ ℤ }

Cevap

A ve B kümelerinin kesişimi, 12 ile bölümünden 10 kalanını veren tam sayılar kümesidir.
Kesişim kümesindeki bir eleman hem x=3k+1x = 3k + 1 hem de x=4m+2x = 4m + 2 koşulunu sağlamalıdır. Bu, sayının 3 ile bölümünden 1, 4 ile bölümünden 2 kalanı vermesi demektir. Bu şartı sağlayan ilk pozitif sayı 10'dur (10=3⋅3+110 = 3\cdot3+1 ve 10=4⋅2+210 = 4\cdot2+2). Kesişimin periyodu ise 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12'dir. Dolayısıyla genel ifade 12n+1012n + 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman yapısını analiz et
A kümesi 3'e bölündüğünde 1 kalanını, B kümesi 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren sayılardan oluşur.
Kesişim kümesindeki bir x sayısı her iki koşulu da (x ≡ 1 mod 3 ve x ≡ 2 mod 4) sağlamalıdır.
2
Denkliği sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bul
x = 10 sayısı; 10 = 3(3)+1 ve 10 = 4(2)+2 koşullarını sağlar.
Ortak elemanların oluşturduğu dizinin başlangıç noktasını belirlemek gerekir.
3
Genel terimi (periyodu) belirle
Periyot EKOK(3, 4) = 12'dir. Genel ifade x = 12n + 10 olur.
İki aritmetik dizinin ortak elemanları, artış miktarlarının EKOK'u kadar aralıklarla tekrar eder.

Anahtar Kavram

Periyodik Kümelerin Kesişimi (Modüler Aritmetik)

İpuçları

1
Kesişim kümesindeki bir sayı, hem A kümesinin hem de B kümesinin kuralına uymalıdır. Birkaç küçük sayı yazarak (örneğin 1 ile 20 arası) her iki kümede de bulunan sayıları tespit etmeyi deneyin.
2
Sayının artış miktarı (periyodu), A'nın artış miktarı (3) ve B'nin artış miktarının (4) En Küçük Ortak Katı (EKOK) olmalıdır.
3
Hem 3'e bölündüğünde 1 kalanını, hem de 4'e bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük pozitif sayı 10'dur. Artış miktarı ise EKOK(3,4)=12'dir. Genel formül bu iki bilgiyi birleştirir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla '3 ile bölündüğünde 1, 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar' kümesini ifade etmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki ifadelerden n=0 veya n=1 için değerler üretip, bu değerlerin A ve B kümelerinin tanımlarına uyup uymadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin, doğru cevaptaki n=0 için x=10 değeri; 10 = 3(3)+1 (A'ya uyar) ve 10 = 4(2)+2 (B'ye uyar) kontrolü yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Kavramı ve Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru