Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKatı Cisimler

Tamamı su ile dolu olan, taban yarıçapı 66 cm ve yüksekliği 1515 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kabın içerisine, yarıçapı 33 cm olan küre şeklinde demir bir bilye bırakılıyor. Bilye tamamen suya battığına göre, kaptan taşan su miktarının kapta kalan su miktarına oranı kaçtır?

  1. A
    1/151/15
  2. 1/141/14Cevap
  3. C
    1/131/13
  4. D
    1/121/12
  5. E
    1/101/10

Cevap

Taşan su miktarının kapta kalan su miktarına oranı 1/141/14 olarak bulunur.
Silindirin hacmi 540π540\pi ve içine atılan bilyenin hacmi 36π36\pi olarak hesaplanır. Kap dolu olduğu için taşan su miktarı bilyenin hacmi olan 36π36\pi kadardır. Kapta kalan su ise toplam hacimden taşan miktarın çıkarılmasıyla 504π504\pi olarak bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı 36/50436/504 sadeleştirildiğinde 1/141/14 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin toplam hacmini hesaplayınız.
Vsilindir=π⋅r2⋅h=π⋅62⋅15=540π cm3V_{silindir} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 6^2 \cdot 15 = 540\pi \text{ cm}^3
Kap tamamen dolu olduğu için başlangıçtaki su miktarı silindirin hacmine eşittir.
2
Küre şeklindeki bilyenin hacmini hesaplayınız.
Vku¨re=43⋅π⋅r3=43⋅π⋅33=36π cm3V_{küre} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3
Bilye suya tamamen battığı için kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirecek ve bu miktar kaptan taşacaktır.
3
Kalan su miktarını belirleyiniz.
Vkalan=Vtoplam−Vtas\can=540π−36π=504π cm3V_{kalan} = V_{toplam} - V_{taşan} = 540\pi - 36\pi = 504\pi \text{ cm}^3
Taşan su miktarı bilyenin hacmine eşit olduğundan, toplam hacimden bilye hacmi çıkarılarak kalan su bulunur.
4
İstenen oranı kurunuz.
Oran=36π504π=36504=114\text{Oran} = \frac{36\pi}{504\pi} = \frac{36}{504} = \frac{1}{14}
Taşan su miktarının (36π36\pi) kalan su miktarına (504π504\pi) bölünmesiyle oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Arşimet prensibine göre suya batan bir cisim, kendi hacmi kadar sıvının yerini değiştirir. Katı cisimlerde hacim hesaplama formülleri (Vsilindir=πr2hV_{silindir} = \pi r^2 h ve Vku¨re=43πr3V_{küre} = \frac{4}{3} \pi r^3) bu tür problemlerin çözümünde temeldir.

İpuçları

1
Taşan suyun hacmi, tamamen batan bilyenin hacmine eşittir.
2
Silindirin hacmini πr2h\pi r^2 h ve kürenin hacmini 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3 formülleriyle hesaplayıp π\pi cinsinden bırakın.
3
Kalan su miktarını bulmak için silindirin toplam hacminden bilyenin hacmini çıkarın ve ardından bölme işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, silindirin yarısı suyla dolu olsaydı bilye atıldığında su seviyesinin ne kadar yükseleceğini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayılarla uğraşmak yerine formülleri oranlayabilirsiniz. Tas¸an=43π(3)3=36π\text{Taşan} = \frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi. Kalan=π(6)2(15)−36π\text{Kalan} = \pi(6)^2(15) - 36\pi. Her iki tarafı 36π36\pi parantezine alarak sadeleştirmeyi hızlandırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru