Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKatı Cisimler

Analitik düzlemde köşe noktaları O(0,0)O(0,0), A(3,0)A(3,0) ve B(3,3)B(3,3) olan üçgensel bölgenin, x=5x=5 doğrusu etrafında 360∘360^\circ döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç π\pi birimküptür?

  1. A
    9
  2. B
    18
  3. 27Cevap
  4. D
    36
  5. E
    54

Cevap

Dönel cismin hacmi 27π birimküptür.
Verilen noktalar O(0,0)O(0,0), A(3,0)A(3,0) ve B(3,3)B(3,3) bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin alanı A=3⋅32=4,5A = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5 birimkaredir. Pappus-Guldin Teoremi'ne göre, bir düzlemsel bölgenin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi, bölgenin alanı ile bölgenin ağırlık merkezinin dönme sırasında aldığı yolun çarpımına eşittir (V=Alan⋅2πrV = \text{Alan} \cdot 2\pi r). Üçgenin ağırlık merkezinin apsisi xG=0+3+33=2x_G = \frac{0+3+3}{3} = 2'dir. Dönme ekseni x=5x=5 olduğu için, ağırlık merkezinin eksene uzaklığı r=5−2=3r = 5 - 2 = 3 birimdir. Buradan hacim V=4,5⋅2π⋅3=27πV = 4,5 \cdot 2\pi \cdot 3 = 27\pi bulunur. Alternatif olarak, büyük bir silindir boşluğundan (iç yarıçapı 2, dış yarıçapı 5 olan) ilgili diğer parçalar çıkarılarak da bulunabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönel cismin hacmini bulmak için Pappus-Guldin Teoremi'ni veya 'Hacimlerin Farkı' yöntemini belirle.
Yöntem: Hacim = (Oluşan Büyük Silindir Boşluğu) - (Tamamlayıcı Parçanın Hacmi) veya Pappus Teoremi: V = Alan . 2πr
Şekil karmaşık bir dönel cisimdir, doğrudan formülü yoktur; bu yüzden parça parça düşünmek veya genel teorem kullanmak gerekir.
2
Üçgensel bölgenin alanını ve ağırlık merkezinin koordinatlarını hesapla.
Alan = (3 . 3) / 2 = 4,5 br². Ağırlık merkezi G'nin apsisi: (0+3+3)/3 = 2.
Pappus teoremini uygulamak için bölgenin alanı ve kütle merkezinin dönme eksenine uzaklığı gereklidir.
3
Ağırlık merkezinin dönme ekseni olan x=5 doğrusuna uzaklığını (r) bul.
r = |5 - 2| = 3 birim.
Cismin hacmi, ağırlık merkezinin çizdiği çemberin çevresi ile alanın çarpımına eşittir.
4
Hacim formülünü uygula (V = Alan . 2πr).
V = 4,5 . 2π . 3 = 9π . 3 = 27π.
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dönel Cisimlerin Hacmi (Pappus-Guldin Teoremi veya Silindirden Çıkarma Yöntemi)

İpuçları

1
Cismin hacmini bulmak için Pappus-Guldin teoremini hatırlayın: Hacim = Alan × (Ağırlık Merkezinin Aldığı Yol).
2
Üçgenin ağırlık merkezinin x koordinatını bulmak için köşe noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasını alın (xG=x1+x2+x33x_G = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}).
3
Ağırlık merkezinin apsisi 2'dir. Dönme ekseni x=5 olduğuna göre, dönme yarıçapı r=3 olur. Alan ise 4,5 birimkaredir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, üçgenin y ekseni etrafında döndürülmesi durumu için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Büyük silindir bloğundan çıkarma yöntemi: 3x3'lük karenin x=5 etrafında dönmesiyle oluşan içi boş silindirden (dış yarıçap 5, iç yarıçap 2), üstteki 'boş' üçgenin oluşturduğu hacmi çıkarabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru