Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKatı Cisimler

Taban yarıçapı 66 cm ve yüksekliği 1212 cm olan dik dairesel bir koni, yüksekliğinin tam orta noktasından tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.

Buna göre, oluşan kesik koninin (alt parçanın) hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3 tür?

  1. A
    18
  2. B
    36
  3. C
    72
  4. 126Cevap
  5. E
    144

Cevap

126
Doğru cevap 126'dır. Başlangıçtaki koninin hacmi 144π144\pi'dir. Yükseklik yarıdan kesildiği için oluşan küçük koninin hacmi toplamın 1/8'i, yani 18π18\pi'dir. Kalan parça (kesik koni) ise 144π−18π=126π144\pi - 18\pi = 126\pi olur.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük koninin toplam hacmini hesapla.
Vbu¨yu¨k=13πr2h=13π(62)(12)=144πV_{büyük} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6^2)(12) = 144\pi cm3\text{cm}^3
Koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h kullanılarak başlangıç hacmi bulunur.
2
Benzerlik oranını ve kesilen küçük koninin hacmini belirle.
Benzerlik oranı k=12k = \frac{1}{2} olduğundan hacimler oranı k3=18k^3 = \frac{1}{8}'dir. Vku¨c\cu¨k=144π8=18πV_{küçük} = \frac{144\pi}{8} = 18\pi cm3\text{cm}^3.
Yükseklik tam ortadan kesildiği için benzerlik oranı 1/21/2'dir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpüdür.
3
Kesik koninin hacmini bulmak için küçük koninin hacmini toplam hacimden çıkar.
Vkesik=Vbu¨yu¨k−Vku¨c\cu¨k=144π−18π=126πV_{kesik} = V_{büyük} - V_{küçük} = 144\pi - 18\pi = 126\pi cm3\text{cm}^3.
Kesik koni (alt parça), tüm koniden üstteki parça atılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kati cisimlerde benzerlik oranı kk ise, hacimler oranı k3k^3'tür.

İpuçları

1
Önce kesilmemiş büyük koninin toplam hacmini hesaplayın.
2
Konilerde yükseklikler oranı benzerlik oranını verir (kk). Hacimler oranı ise benzerlik oranının küpüdür (k3k^3).
3
Benzerlik oranı 1/21/2 olduğu için üstteki küçük koninin hacmi toplam hacmin 1/81/8'idir. Toplam hacimden bu parçayı çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı 1/3 olan bir piramidin kesik hacmini hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Kesik koni hacim formülü: V=13πh(R2+r2+R⋅r)V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + R\cdot r). Burada R=6R=6, r=3r=3 ve kesik parça yüksekliği h=6h=6 alınarak doğrudan hesaplanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru