Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı r=4r = 4 cm ve yüksekliği h=6πh = 6\pi cm olan şekildeki dik dairesel silindirin taban dairesi üzerindeki A noktasında bulunan bir hareketli, silindirin yan yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak, A noktasının düşey doğrultusunda ve üst taban kenarı üzerinde bulunan B noktasına gitmek istemektedir. Buna göre, bu hareketlinin gidebileceği en kısa yol kaç cm'dir?

  1. A
    8π8\pi
  2. 10π10\piCevap
  3. C
    12π12\pi
  4. D
    14π14\pi
  5. E
    20π20\pi

Cevap

Hareketlinin alacağı en kısa yol 10\pi cm'dir.
Hareketlinin silindir yüzeyinde bir tam tur atarak A'dan B'ye gitmesi, silindirin yan yüzeyi açıldığında oluşan dikdörtgenin bir köşesinden karşı köşesine gitmesi demektir. Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (6π6\pi), diğer kenarı ise taban çevresidir (2πr=8π2\pi r = 8\pi). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (6π−8π−10π6\pi-8\pi-10\pi üçgeni) uygulanarak hipotenüs uzunluğu 10π10\pi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin yan yüzeyini düzlemsel bir şekil (dikdörtgen) olarak düşün.
Yan yüzey açıldığında, bir kenarı silindirin yüksekliği (hh), diğer kenarı ise taban çevresi (C\cÇ) olan bir dikdörtgen elde edilir.
Silindir üzerindeki en kısa yol (geodezik eğri), yüzey açıldığında iki nokta arasındaki doğru parçasına (hipotenüse) karşılık gelir.
2
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını hesapla.
Yükseklik h=6πh = 6\pi cm. Taban Çevresi C\c=2πr=2π⋅4=8πÇ = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi cm.
Yolun yatay bileşeni silindirin taban çevresine eşittir.
3
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygula.
En kısa yol (xx) için: x2=(6π)2+(8π)2=36π2+64π2=100π2x^2 = (6\pi)^2 + (8\pi)^2 = 36\pi^2 + 64\pi^2 = 100\pi^2. Buradan x=100π2=10πx = \sqrt{100\pi^2} = 10\pi.
Dikdörtgenin köşegeni, gidilecek en kısa mesafeyi verir (6-8-10 özel üçgeninin π\pi katı).

Anahtar Kavram

Silindir yüzeyinde en kısa yol (geodezik) problemleri, cismin yüzey açılımı yapılarak düzlemsel dik üçgen problemine dönüştürülerek çözülür.

İpuçları

1
Silindirin yan yüzeyini bir makasla kesip açtığınızı düşünün. Ortaya nasıl bir şekil çıkar?
2
Yan yüzey açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. A ve B noktaları bu dikdörtgenin karşı köşeleri olur.
3
Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik (6π6\pi), diğer kenarı taban çevresidir (2πr2\pi r). Pisagor bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Aynı silindirde hareketli tam tur atmadan, sadece yarım tur atarak (silindirin arka yüzüne) gitseydi en kısa yol kaç olurdu?

Alternatif Yöntem

Özel üçgenleri hatırlayın: Kenarları 3k3k ve 4k4k olan bir dik üçgenin hipotenüsü 5k5k'dır. Burada k=2πk=2\pi alınırsa 6π6\pi ve 8π8\pi kenarları için hipotenüs 10π10\pi olur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru