Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKartezyen Çarpım
Gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) üzerinde AA ve BB alt kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈R:x2−4x≤0}A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 4x \le 0\}
B={x∈R:∣x−1∣≤2}B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| \le 2\}
Analitik düzlemde, elemanları bu kümelerin kartezyen çarpımlarından oluşan β1=A×B\beta_1 = A \times B ve β2=B×A\beta_2 = B \times A bölgeleri veriliyor.

Buna göre, (β1∪β2)(\beta_1 \cup \beta_2) birleşim bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    9
  2. B
    16
  3. 23Cevap
  4. D
    25
  5. E
    32

Cevap

İstenen bölgenin alanı 23 birimkaredir.
Doğru cevap, kartezyen çarpım bölgelerinin ayrı ayrı alanlarının toplamından, üst üste binen ortak kesişim bölgesinin alanının çıkarılmasıyla bulunur. A ve B kümeleri 4'er birim uzunluğunda aralıklar olduğu için her iki kare bölge 16 birimkaredir. Kesişimleri ise 3 birim uzunluğunda aralıklar olduğundan ortak bölge 9 birimkaredir. Sonuç 16+16−9=2316+16-9=23 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin aralığını belirle.
x(x−4)≤0x(x-4) \le 0 eşitsizliğinin kökleri 0 ve 4'tür. Çözüm aralığı A=[0,4]A = [0, 4] olur. Uzunluk ∣A∣=4|A| = 4 birimdir.
İkinci dereceden eşitsizliklerde kökler arası (katsayı pozitif ise negatif bölge) çözüm kümesidir.
2
B kümesinin aralığını belirle.
∣x−1∣≤2|x - 1| \le 2 eşitsizliği −2≤x−1≤2-2 \le x - 1 \le 2 olarak açılır. Her tarafa 1 eklenirse −1≤x≤3-1 \le x \le 3 olur. Yani B=[−1,3]B = [-1, 3] aralığıdır. Uzunluk ∣B∣=4|B| = 4 birimdir.
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.
3
Kartezyen çarpım bölgelerinin (β1β_1 ve β2β_2) alanlarını hesapla.
Alan(β1β_1) = ∣A∣⋅∣B∣=4⋅4=16|A| \cdot |B| = 4 \cdot 4 = 16 br².
Alan(β2β_2) = ∣B∣⋅∣A∣=4⋅4=16|B| \cdot |A| = 4 \cdot 4 = 16 br².
Dikdörtgen şeklindeki kartezyen çarpım bölgesinin alanı, kümelerin uzunluklarının çarpımıdır.
4
Kesişim bölgesinin (β1∩β2β_1 \cap β_2) alanını bul.
β1∩β2=(A∩B)×(B∩A)β_1 \cap β_2 = (A \cap B) \times (B \cap A) şeklindedir.
A∩B=[0,4]∩[−1,3]=[0,3]A \cap B = [0, 4] \cap [-1, 3] = [0, 3] aralığıdır (Uzunluk 3).
B∩A=[−1,3]∩[0,4]=[0,3]B \cap A = [-1, 3] \cap [0, 4] = [0, 3] aralığıdır (Uzunluk 3).
Kesişim Alanı = 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 br².
İki kartezyen çarpımın kesişimi, bileşen kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına eşittir.
5
Birleşim formülünü uygula.
Alan(β1∪β2β_1 \cup β_2) = Alan(β1β_1) + Alan(β2β_2) - Alan(β1∩β2β_1 \cap β_2) = 16+16−9=2316 + 16 - 9 = 23.
Kümelerde birleşim işlemi prensibi (Inclusion-Exclusion Principle).

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın geometrik yorumu ve kümelerde birleşim işlemi.

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerini sayı doğrusu üzerinde aralık olarak çizin ve uzunluklarını bulun.
2
Analitik düzlemde A×BA \times B bölgesi, tabanı A, yüksekliği B olan bir dikdörtgendir. Bu iki dikdörtgenin kesişim bölgesini (A∩BA \cap B) düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, (A×A)∩(B×B)(A \times A) \cap (B \times B) bölgesinin alanını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Grafik Çizimi: Koordinat sisteminde x ekseninde [0,4], y ekseninde [-1,3] aralığını tarayarak bir dikdörtgen çizin. Aynısını eksenleri değiştirerek yapın. Oluşan şeklin toplam alanını küçük kareleri sayarak da bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru