Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olan ABCABC ikizkenar üçgeninde m(BAC^)=150∘m(\widehat{BAC}) = 150^\circ'dir. [BC][BC] kenarının uzantısı üzerinde, CC köşesine BB'den daha yakın olan bir PP noktası alınıyor. PP noktasından ACAC doğrusuna inilen dikmenin uzunluğu 22 cm, ABAB doğrusuna inilen dikmenin uzunluğu 88 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| kaç cm'dir?

  1. 12Cevap
  2. B
    6
  3. C
    20
  4. D
    16
  5. E
    434\sqrt{3}

Cevap

AB kenarının uzunluğu 12 cm'dir.
İkizkenar üçgende tabanın uzantısı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin uzunlukları farkı, ikizkenarlardan birine ait yüksekliği verir. Bu soruda yükseklik 8−2=68 - 2 = 6 cm olarak bulunur. Tepe açısı 150∘150^\circ olduğundan, bu yükseklik üçgenin dışında 30∘30^\circ'lik bir dik üçgen oluşturur. 30∘30^\circ'nin karşısı 66 ise hipotenüs (yani üçgenin bir kenarı) 1212 cm olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliğini belirle
İkizkenar üçgenin taban uzantısı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin farkı, eşit kenarlara ait yüksekliğe eşittir: hc=∣PL∣−∣PK∣h_c = |PL| - |PK|.
Nokta taban üzerinde değil, tabanın uzantısında olduğu için dikmelerin toplamı değil farkı alınır.
2
Yüksekliği hesapla
hc=8−2=6h_c = 8 - 2 = 6 cm.
Verilen dikme uzunlukları formülde yerine konur.
3
Geniş açılı üçgenin dış açısını bul
m(BAC^)=150∘m(\widehat{BAC}) = 150^\circ olduğundan, ABAB kenarına ait yükseklik üçgenin dışındadır ve dış açı 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ'dir.
Yüksekliği kullanarak kenar uzunluğunu bulmak için dik üçgen oluşturulur.
4
30-60-90 üçgeninde kenar uzunluğunu bul
Oluşan dik üçgende 30∘30^\circ'nin karşısı (yükseklik) 66 cm ise, hipotenüs (ACAC) 1212 cm'dir.
sin⁡(30∘)=12=hAC  ⟹  6AC=12\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{h}{AC} \implies \frac{6}{AC} = \frac{1}{2}.
5
Sonucu belirle
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğundan, ∣AB∣=12|AB| = 12 cm.
İkizkenar üçgenin eşit kenarları aynı uzunluktadır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban uzantısındaki noktadan inilen dikmelerin farkı özelliğinin geniş açılı üçgen geometrisiyle sentezi.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenin tabanının uzantısındaki bir noktadan inilen dikmelerle ilgili özel kuralı hatırlayın: Toplam mı, fark mı?
2
Bu dikmelerin farkı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliği verir. Yüksekliği bulduktan sonra açıyı kullanın.
3
Tepe açısı 150∘150^\circ olan ikizkenar üçgenin yüksekliği üçgenin dışındadır ve dış açı 30∘30^\circ'dir. 30-60-90 üçgenini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, eşkenar üçgenin dışındaki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerle ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Alan formülü ile: Alan(PAB)−Alan(PAC)=Alan(ABC)\text{Alan}(PAB) - \text{Alan}(PAC) = \text{Alan}(ABC) bağıntısından yola çıkarak yükseklik farkı ispatlanabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru