Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

ABCABC bir ikizkenar üçgen, ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. [BC][BC] tabanı üzerinde alınan herhangi bir PP noktasından üçgenin eş olan kenarlarına indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı 66 cm'dir. Buna göre, ABCABC üçgeninin [BC][BC] tabanına ait yüksekliği kaç cm'dir?

  1. 232\sqrt{3}Cevap
  2. B
    333\sqrt{3}
  3. C
    434\sqrt{3}
  4. D
    66
  5. E
    1212

Cevap

İkizkenar üçgenin tabanına ait yüksekliği 232\sqrt{3} cm'dir.
Verilen ikizkenar üçgen özelliğine göre, dikmelerin toplamı olan 66 cm, yan kenarlardan birine indirilen yüksekliğe eşittir. Tepe açısı 120∘120^\circ olduğundan taban açıları 30∘30^\circ'dir. Yan kenar yüksekliği 66 cm olan bir 30−60−9030-60-90 üçgeninde taban ∣BC∣=12|BC| = 12 cm bulunur. 120−30−30120-30-30 üçgeninde tabana ait yükseklik, taban yarısının (66 cm) 3\sqrt{3}'e bölünmesiyle 232\sqrt{3} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgenin dikme özelliğini uygula.
hyan=6h_{yan} = 6 cm
İkizkenar üçgende tabandaki bir noktadan yan kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, yan kenarlardan birine ait yüksekliğe (hbh_b veya hch_c) eşittir.
2
Üçgenin taban açılarını hesapla.
m(B^)=m(C^)=30∘m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 30^\circ
Tepe açısı 120∘120^\circ olan ikizkenar üçgenin iç açıları toplamından taban açıları (180∘−120∘)/2=30∘(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ olarak bulunur.
3
Yan kenar yüksekliğini kullanarak taban uzunluğunu bul.
∣BC∣=12|BC| = 12 cm
Yan kenara ait yükseklik (hyanh_{yan}), tabanı hipotenüs kabul eden ve 30∘30^\circ açısı olan bir dik üçgen oluşturur. sin⁡30∘=hyan/∣BC∣⇒1/2=6/∣BC∣⇒∣BC∣=12\sin 30^\circ = h_{yan} / |BC| \Rightarrow 1/2 = 6 / |BC| \Rightarrow |BC| = 12 cm olur.
4
Taban yüksekliğini (htabanh_{taban}) hesapla.
htaban=23h_{taban} = 2\sqrt{3} cm
ABCABC üçgeninde tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya (66 cm) böler. Oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısı 66 cm ise, 30∘30^\circ'nin karşısı (yükseklik) 6/3=236 / \sqrt{3} = 2\sqrt{3} cm'dir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar ve özel açılı üçgen özellikleri

İpuçları

1
İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı hangi uzunluğa eşittir?
2
Tepe açısı 120∘120^\circ olan bir üçgende taban açıları kaç derecedir? Bu açıları kullanarak bir 30−60−9030-60-90 üçgeni oluşturun.
3
Yan kenar yüksekliği 66 cm ise, taban uzunluğu 1212 cm olur. Bu durumda tabana ait yüksekliği bulmak için tabanın yarısını ve taban açısının tanjantını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eğer üçgen eşkenar olsaydı ve içindeki bir noktadan kenarlara dikmeler indirilseydi, bu toplam neye eşit olurdu?

Alternatif Yöntem

120∘−30∘−30∘120^\circ-30^\circ-30^\circ üçgeninde kenar özellikleri a,a,a3a, a, a\sqrt{3} şeklindedir. Alanı iki farklı şekilde yazarak (∣BC∣⋅htaban/2=∣AB∣⋅hyan/2|BC| \cdot h_{taban} / 2 = |AB| \cdot h_{yan} / 2) sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru