Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Şekildeki ABCABC eşkenar üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. ∣AB∣=8|AB| = 8 cm ve ∣BD∣=3|BD| = 3 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    6
  2. 7Cevap
  3. C
    434\sqrt{3}
  4. D
    73\sqrt{73}
  5. E
    525\sqrt{2}

Cevap

Uzunluk 7 cm'dir.
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşittir. Bir köşeden inilen dikme tabanı ortalar. Bu özellik kullanılarak oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı veya doğrudan Kosinüs Teoremi (c2=a2+b2−2abcos⁡(60∘)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(60^{\circ})) ile sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına AHAH dikmesi indirilir.
ABCABC eşkenar olduğu için HH noktası [BC][BC]'yi iki eş parçaya böler. ∣BC∣=∣AB∣=8|BC|=|AB|=8 cm olduğundan ∣BH∣=∣HC∣=4|BH|=|HC|=4 cm olur.
Eşkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
2
DD noktasının HH noktasına olan uzaklığı hesaplanır.
∣BD∣=3|BD|=3 cm ve ∣BH∣=4|BH|=4 cm olduğu için DD noktası BB ile HH arasındadır. ∣HD∣=∣BH∣−∣BD∣=4−3=1|HD| = |BH| - |BD| = 4 - 3 = 1 cm bulunur.
Dik üçgenin taban uzunluğunu bulmak için parça uzunlukları çıkarılır.
3
AHAH yüksekliğinin uzunluğu hesaplanır.
30−60−9030-60-90 üçgeninden (veya Pisagor'dan) ∣AH∣=43|AH| = 4\sqrt{3} cm bulunur.
Eşkenar üçgenin yüksekliği h=a32h = \frac{a\sqrt{3}}{2} formülüyle bulunur.
4
AHDAHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣HD∣2⇒∣AD∣2=(43)2+12=48+1=49|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = (4\sqrt{3})^2 + 1^2 = 48 + 1 = 49. Buradan ∣AD∣=7|AD|=7 cm elde edilir.
Aranan kenar hipotenüstür.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgende tabana indirilen dikme tabanı ikiye böler (Yaki Kuralı) ve oluşan dik üçgenlerde Pisagor bağıntısı veya Kosinüs Teoremi kullanılır.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin bir köşesinden tabana dikme indirmeyi deneyin.
2
İndirdiğiniz dikme, tabanı iki eşit parçaya böler. |BH| uzunluğunu bulun.
3
Oluşan dik üçgende dik kenarlar 434\sqrt{3} ve 11 cm'dir. Pisagor bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ikizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi: △ABD\triangle ABD üçgeninde, ∣AD∣2=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡(60∘)|AD|^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) formülüyle doğrudan çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru