Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı 44 cm ve yüksekliği 1010 cm olan dolu bir dik dairesel silindirden, taban merkezinden geçen ve merkez açısı 90∘90^\circ olan bir dilim kesilip çıkarılıyor.

Buna göre, geriye kalan büyük parçanın yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. 84π+8084\pi + 80Cevap
  2. B
    84π84\pi
  3. C
    60π+8060\pi + 80
  4. D
    84π+4084\pi + 40
  5. E
    112π112\pi

Cevap

84π+8084\pi + 80
Doğru cevap, kalan cismin tüm yüzeylerinin (tabanlar, kavisli yüzey ve kesim yüzeyleri) doğru hesaplanıp toplanmasıyla bulunur. 3/4'lük tabanlar (24π24\pi), 3/4'lük yanal alan (60π60\pi) ve kesim sonucu oluşan iki dikdörtgen yüzey (2×40=802 \times 40 = 80) toplandığında sonuç 84π+8084\pi + 80 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan cismin geometrik yapısını analiz et
Silindirden 90 derecelik (1/4) bir dilim çıkarıldığında geriye 3/4'lük bir silindir dilimi kalır. Ayrıca kesim bölgesinde iki adet yeni dikdörtgen yüzey oluşur.
Yüzey alanı hesaplanırken hem dış yüzeyler hem de kesim sonucu açığa çıkan iç yüzeyler toplanmalıdır.
2
Taban ve tavan alanlarını hesapla
Taban Alanı = πr2=16π\pi r^2 = 16\pi. Kalan kısım 3/4 olduğu için: Alt ve Üst Taban Toplamı = 2×(34×16π)=24π2 \times (\frac{3}{4} \times 16\pi) = 24\pi.
Silindirin alt ve üst tabanlarından 90 derecelik kısımlar eksilmiştir.
3
Yanal (kavisli) yüzey alanını hesapla
Tam Yanal Alan = 2πrh=2π(4)(10)=80π2\pi r h = 2\pi(4)(10) = 80\pi. Kalan Yanal Alan = 34×80π=60π\frac{3}{4} \times 80\pi = 60\pi.
Silindirin dış kavisli yüzeyinin de 1/4'ü gitmiştir.
4
Kesim sonucu oluşan dikdörtgen yüzeylerin alanını hesapla
Kesim yüzeyleri, boyutları rr ve hh olan iki dikdörtgendir. Alan = 2×(r×h)=2×(4×10)=802 \times (r \times h) = 2 \times (4 \times 10) = 80.
Parça çıkarıldığında cismin içinde kalan yüzeyler dışarıya açılmıştır ve alana dahil edilmelidir.
5
Tüm alanları topla
Toplam Alan = (Tabanlar) + (Yanal) + (Kesim Yüzeyleri) = 24π+60π+80=84π+8024\pi + 60\pi + 80 = 84\pi + 80.
Cismin toplam yüzey alanı bu üç bileşenin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı Cisimlerin Yüzey Alanı

İpuçları

1
Cisimden 90 derecelik bir dilim çıkarıldığında, geriye silindirin 3/4'ü kalır.
2
Yüzey alanını hesaplarken sadece silindirin dış yüzeylerini değil, kesim sonucu açığa çıkan dikdörtgen şeklindeki iç yüzeyleri de eklemeyi unutmayın.
3
Oluşan yeni yüzeyler, yarıçap (rr) ve yükseklik (hh) boyutlarında iki adet dikdörtgendir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru