\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6 ifadesinin açılımındaki sabit terim (x'ten bağımsız terim… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6

ifadesinin açılımındaki sabit terim (x'ten bağımsız terim) aşağıdakilerden hangisidir?

İfadenin sabit terimi 240'tır.

Verilen ifadenin genel terimi

\binom{6}{r}(x^2)^{6-r}(-2x^{-1})^r

şeklinde yazılır. x'in kuvvetleri düzenlendiğinde

x^{12-3r}

elde edilir. Sabit terim olması için kuvvetin 0 olması gerekir (

12-3r=0

), buradan

r=4

bulunur. Katsayı hesabı yapıldığında

\binom{6}{4}(-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240

sonucu elde edilir.

Genel terim formülünü yaz.

\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \cdot (-2x^{-1})^r

Binom açılımının genel terimi

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

formülü ile bulunur.

x'in kuvvetlerini düzenle.

\binom{6}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{2(6-r)} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-2r-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-3r}

Katsayıyı ve değişkenin üslerini ayrıştırarak x'in toplam kuvvetini bulmak gerekir.

Sabit terim için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve r değerini bul.

12 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4

Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (yani x'in kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.

Bulunan r değerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.

\binom{6}{4} \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240

\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

(-2)^4 = 16

olduğu için çarpım 240'tır.

Binom açılımında sabit terimi bulmak için genel terim formülünde değişkenin üssü 0'a eşitlenir.

Soru