Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Temel)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!+(n+1)!(n+1)!−n!=8 \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+1)! - n!} = 8
eşitliğini sağlayan nn değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Denklemi sağlayan n değerlerinin toplamı 4'tür.
Verilen eşitlikte faktöriyel tanımları kullanılarak (n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n! ve (n+1)!=(n+1)n!(n+1)! = (n+1)n! dönüşümleri yapılır. İfade sadeleştirildiğinde (n+1)(n+3)n=8\frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 cebirsel denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde n2−4n+3=0n^2 - 4n + 3 = 0 bulunur. Bu denklemi sağlayan nn değerleri 3 ve 1'dir. Her ikisi de doğal sayı olduğu için çözüm kümesine dahildir ve toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine alarak düzenle.
Pay: (n+2)!+(n+1)!=(n+1)!(n+2)+(n+1)!=(n+1)!(n+2+1)=(n+1)!(n+3)\text{Pay: } (n+2)! + (n+1)! = (n+1)!(n+2) + (n+1)! = (n+1)!(n+2+1) = (n+1)!(n+3) Payda: (n+1)!−n!=n!(n+1)−n!=n!(n+1−1)=n!⋅n\text{Payda: } (n+1)! - n! = n!(n+1) - n! = n!(n+1-1) = n! \cdot n
Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için toplama/çıkarma durumundaki terimler çarpım durumuna getirilmelidir.
2
Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yaz ve sadeleştir.
(n+1)!(n+3)n!⋅n \frac{(n+1)!(n+3)}{n! \cdot n} (n+1)!=(n+1)n! oldug˘u ic¸in;(n+1)! = (n+1)n! \text{ olduğu için;} (n+1)n!(n+3)n!⋅n=(n+1)(n+3)n \frac{(n+1)n!(n+3)}{n! \cdot n} = \frac{(n+1)(n+3)}{n}
Paydaki (n+1)!(n+1)! ifadesini n!n! cinsinden yazarak paydadaki n!n! ile sadeleştirmek işlemi basitleştirir.
3
Kalan cebirsel ifadeyi 8'e eşitle ve denklemi çöz.
(n+1)(n+3)n=8⇒n2+4n+3n=8 \frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 \Rightarrow \frac{n^2 + 4n + 3}{n} = 8 n2+4n+3=8n n^2 + 4n + 3 = 8n n2−4n+3=0 n^2 - 4n + 3 = 0
İçler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bul ve topla.
(n−3)(n−1)=0 (n-3)(n-1) = 0 n1=3,n2=1 n_1 = 3, \quad n_2 = 1 Toplam=3+1=4\text{Toplam} = 3 + 1 = 4
Bulunan köklerin doğal sayı tanımına uygunluğu kontrol edilir (her ikisi de uygundur) ve toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmeleri ve ikinci dereceden denkleme dönüşen ifadelerin çözümü.

İpuçları

1
Pay kısmını (n+1)!(n+1)! parantezine, payda kısmını n!n! parantezine alarak sadeleştirme yapmayı deneyin.
2
Sadeleştirme sonucunda (n+1)(n+3)n=8\frac{(n+1)(n+3)}{n} = 8 denklemini elde etmelisiniz.
3
Elde edilen ifadeyi düzenleyerek n2−4n+3=0n^2 - 4n + 3 = 0 ikinci dereceden denklemini çözün.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek (n yerine değerler vererek) eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir, ancak köklerin toplamı sorulduğu için bu yöntemle eksik kök bulma riski vardır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru