Examkin

Soru

Zorluk: ZorDoğruda ve Üçgende Açılar

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliği bulunmaktadır. ACAC kenarı üzerinde alınan bir DD noktası için ∣BC∣=∣BD∣=∣DA∣|BC| = |BD| = |DA| eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

  1. A
    30
  2. 36Cevap
  3. C
    45
  4. D
    54
  5. E
    72

Cevap

İstenen açının ölçüsü 36 derecedir.
Verilen eşitlikler zincirleme bir açı ilişkisi kurmamızı sağlar. Tepe açısına xx dediğimizde, ikizkenar özelliklerinden ve dış açı kuralından dolayı taban açıları 2x2x bulunur. Büyük üçgenin iç açıları toplamı x+2x+2x=5x=180∘x + 2x + 2x = 5x = 180^{\circ} denkleminden x=36∘x=36^{\circ} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyen açıyı isimlendir.
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olsun.
Soruda istenen tepe açısına değişken atayarak diğer açıları bu değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
2
∣DA∣=∣BD∣|DA| = |BD| eşitliğini kullanarak △ABD\triangle ABD içindeki açıları belirle.
△ABD\triangle ABD ikizkenar olduğundan m(ABD^)=m(BAC^)=xm(\widehat{ABD}) = m(\widehat{BAC}) = x olur.
İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları eşittir.
3
Dış açı özelliğini kullanarak m(BDC^)m(\widehat{BDC}) açısını bul.
△ABD\triangle ABD için dış açı: m(BDC^)=x+x=2xm(\widehat{BDC}) = x + x = 2x olur.
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
4
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| eşitliğini kullanarak △BDC\triangle BDC açılarından △ABC\triangle ABC taban açısına geç.
△BDC\triangle BDC ikizkenar olduğundan m(BCD^)=m(BDC^)=2xm(\widehat{BCD}) = m(\widehat{BDC}) = 2x olur. Bu aynı zamanda △ABC\triangle ABC'nin taban açısıdır (m(ACB^)=2xm(\widehat{ACB}) = 2x).
Eşit kenarları gören taban açıları eşittir.
5
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliğini kullanarak büyük üçgenin iç açılar toplamını yaz ve denklemi çöz.
△ABC\triangle ABC ikizkenar olduğundan m(ABC^)=m(ACB^)=2xm(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x olur. İç açılar toplamı: x+2x+2x=180∘⇒5x=180∘⇒x=36∘x + 2x + 2x = 180^{\circ} \Rightarrow 5x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 36^{\circ}.
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği ve 'bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır' kuralı.

İpuçları

1
Soruda verilen eşit kenarları kullanarak ikizkenar üçgenleri belirleyin. En küçük açıya xx diyerek başlayın.
2
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olsun. △ABD\triangle ABD ikizkenar olduğundan m(ABD^)m(\widehat{ABD}) de xx olur. DD noktasındaki dış açıyı (m(BDC^)m(\widehat{BDC})) bu iki açıyı toplayarak bulun.
3
m(BDC^)=2xm(\widehat{BDC}) = 2x bulunduktan sonra, ∣BD∣=∣BC∣|BD|=|BC| eşitliğinden m(ACB^)=2xm(\widehat{ACB}) = 2x olur. ∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| olduğundan m(ABC^)m(\widehat{ABC}) de 2x2x olmalıdır. Şimdi △ABC\triangle ABC iç açılarını toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla kurulan, ancak dış açıortayların kesişimi ile ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Altın üçgen (Golden Triangle) özellikleri biliniyorsa, 36∘−72∘−72∘36^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ} üçgeninin kenar özelliklerinden doğrudan 36∘36^{\circ} olduğu hatırlanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Doğruda ve Üçgende Açılar

Bu konudan daha fazla soru