Examkin

Doğruda ve Üçgende Açılar

31 soru

Soru 1Soru →

Birbirine paralel olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları arasında oluşan açılar şekilde gösterilmiştir. Buna göre, xx ile belirtilen açının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Verilen açının ölçüsü 70 derecedir.
Paralel iki doğru arasında kalan 'M' şeklindeki kırık çizgilerde, aynı tarafa bakan açıların ölçüleri toplamı, diğer tarafa bakan açının ölçüsüne eşittir. Bu soruda sağa bakan 30∘30^\circ ve 40∘40^\circ açılarının toplamı, sola bakan xx açısını 70∘70^\circ yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Paralellik kuralını (M kuralı) belirle.
x=30∘+40∘x = 30^\circ + 40^\circ
İki paralel doğru arasında kalan ve bir yöne bakan açıların toplamı, diğer yöne bakan açının ölçüsüne eşittir.
2
Toplama işlemini gerçekleştir.
70∘70^\circ
Sağa bakan 30∘30^\circ ve 40∘40^\circ açılarının toplamı, sola bakan xx açısını verir.

Anahtar Kavram

M Kuralı (Paralel Doğrularda Açılar)

İpuçları

1
Paralel iki doğru arasındaki 'M' harfine benzeyen kuralı hatırlayın.
2
Sağa bakan açıların toplamı, sola bakan açının ölçüsüne eşit olmalıdır.
3
30∘30^\circ ve 40∘40^\circ değerlerini toplayarak xx açısını bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Üç doğrulu veya daha fazla kırıklı (Zikzak kuralı) soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

B noktasından geçecek şekilde d1d_1 ve d2d_2 doğrularına paralel üçüncü bir doğru çizerek iç ters açıları (Z kuralı) iki ayrı parça halinde görebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 2Soru →

Bir ABCABC üçgeninde BB köşesine ait iç açıortay ile CC köşesine ait dış açıortay üçgenin dışındaki bir DD noktasında kesişmektedir. ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| ve m(ACB^)−m(BAC^)=30∘m(\widehat{ACB}) - m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olduğuna göre, m(BDC^)m(\widehat{BDC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25∘25^\circ

Cevap

25∘25^\circ değeridir.
Üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay kesiştiğinde oluşan m(BDC^)m(\widehat{BDC}) açısı, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açısının yarısıdır. ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| eşitliği, △BCD\triangle BCD üçgeninde taban açılarının eşit olmasını sağlar; bu da m(ABC^)m(\widehat{ABC}) ile m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açılarının eşit olduğunu kanıtlar. Verilen fark bilgisiyle kurulan denklem sonucunda m(BAC^)=50∘m(\widehat{BAC}) = 50^\circ bulunur ve yarısı olan 25∘25^\circ doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Bir iç ve bir dış açıortay arasındaki ilişkiyi tanımla.
m(BDC^)=m(BAC^)2m(\widehat{BDC}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2}
Bir üçgende bir köşenin iç açıortayı ile diğer köşenin dış açıortayının kesişmesiyle oluşan açı, tepe açısının yarısına eşittir.
2
∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| bilgisini kullanarak üçgenler arası ilişkiyi kur.
m(ABC^)=m(BAC^)m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BAC})
△BCD\triangle BCD ikizkenar olduğundan m(CBD^)=m(BDC^)m(\widehat{CBD}) = m(\widehat{BDC}) olur. BDBD iç açıortay olduğundan m(ABC^)=2⋅m(CBD^)m(\widehat{ABC}) = 2 \cdot m(\widehat{CBD}), DD açısı kuralı gereği de m(BAC^)=2⋅m(BDC^)m(\widehat{BAC}) = 2 \cdot m(\widehat{BDC}) olduğundan bu iki açı eşittir.
3
m(BAC^)=αm(\widehat{BAC}) = \alpha diyerek denklem kur.
α+α+(α+30∘)=180∘⇒3α=150∘⇒α=50∘\alpha + \alpha + (\alpha + 30^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 150^\circ \Rightarrow \alpha = 50^\circ
m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve m(ACB^)=α+30∘m(\widehat{ACB}) = \alpha + 30^\circ (verilen farktan dolayı) olur. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğu için toplamları bu değere eşitlenir.
4
İstenen DD açısını hesapla.
m(BDC^)=50∘/2=25∘m(\widehat{BDC}) = 50^\circ / 2 = 25^\circ
DD açısı, AA açısının (α\alpha) yarısıdır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasındaki açı, üçüncü köşedeki açının yarısına eşittir.

İpuçları

1
Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının tepe açısıyla olan ilişkisini (yarısı olma kuralı) hatırla.
2
∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| eşitliğinden yola çıkarak △BCD\triangle BCD üçgeninin taban açılarını karşılaştır. BDBD bir açıortay olduğu için bu durum AA ve BB açısı arasında bir eşitlik doğuracaktır.
3
m(BAC^)=αm(\widehat{BAC}) = \alpha dersen, m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve m(ACB^)=α+30∘m(\widehat{ACB}) = \alpha + 30^\circ olur. Bu üçünün toplamını 180∘180^\circ yaparak α\alpha değerini bul.

Daha Fazla Pratik

İç ve dış açıortay özelliklerini pekiştirmek için 'Muhteşem Üçlü' ve 'Açıortayların kesim noktaları' konularına göz atabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Şekilde [AB∥[CD[AB \parallel [CD olmak üzere, [AE][AE] ışını BAK^\widehat{BAK} açısının, [CE][CE] ışını ise DCK^\widehat{DCK} açısının açıortayıdır.

m(AKC^)+m(AEC^)=216∘m(\widehat{AKC}) + m(\widehat{AEC}) = 216^\circ

olduğuna göre, m(AKC^)m(\widehat{AKC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

İstenen açının ölçüsü 144 derecedir.
Paralel doğrular arasındaki M kuralı gereği, aynı yöne bakan iç açıların açıortaylarının kesişimiyle oluşan açı, ana açının yarısına eşittir. Yani m(AKC^)=2⋅m(AEC^)m(\widehat{AKC}) = 2 \cdot m(\widehat{AEC}) bağıntısı vardır. m(AEC^)=xm(\widehat{AEC}) = x dersek, 2x+x=216∘2x + x = 216^\circ denkleminden x=72∘x = 72^\circ bulunur. Sorulan açı 2x2x olduğu için cevap 144∘144^\circ olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paralel doğrular arasındaki 'M kuralı' (zikzak kuralı) ve açıortay ilişkisini belirle.
M kuralına göre, sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir. Açıortaylar kullanıldığında, açıortayların oluşturduğu açı (widehatAEC\\widehat{AEC}), ana kolların oluşturduğu açının (widehatAKC\\widehat{AKC}) yarısıdır.
Eğer widehatBAE=widehatEAK=a\\widehat{BAE} = \\widehat{EAK} = a ve widehatKCE=widehatECD=b\\widehat{KCE} = \\widehat{ECD} = b dersek; widehatAEC=a+b\\widehat{AEC} = a+b ve widehatAKC=2a+2b=2(a+b)\\widehat{AKC} = 2a+2b = 2(a+b) olur.
2
Verilen toplamı kullanarak denklem kur.
m(widehatAEC)=xm(\\widehat{AEC}) = x denirse, m(widehatAKC)=2xm(\\widehat{AKC}) = 2x olur. Denklem: 2x + x = 216^\\circ.
Soruda iki açının toplamının 216^\\circ olduğu verilmiştir.
3
Denklemi çözerek x değerini bul.
3x = 216^\\circ \\Rightarrow x = 72^\\circ.
Bu değer m(widehatAEC)m(\\widehat{AEC}) yani küçük açının ölçüsüdür.
4
Soruda istenen açıyı hesapla.
İstenen m(\\widehat{AKC}) = 2x = 2 \\cdot 72^\\circ = 144^\\circ.
Soruda büyük açı olan widehatAKC\\widehat{AKC} sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasında açıortayların oluşturduğu açı, ana kolların oluşturduğu açının yarısıdır (M kuralı uygulaması).

İpuçları

1
Paralel doğrular arasında oluşan zikzak (M kuralı) şekillerinde, sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir.
2
Açıortaylara aa ve bb isimleri vererek M kuralını iki kez uygulayın: Bir kez büyük açı (AKC) için, bir kez de küçük açı (AEC) için.
3
İşlemleri yaptığınızda m(AKC^)=2⋅m(AEC^)m(\widehat{AKC}) = 2 \cdot m(\widehat{AEC}) olduğunu göreceksiniz. Bu oranı verilen toplam denkleminde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Aynı kuralın U kuralı (karşı durumlu açılar) ile birleştirildiği soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Sivri uçlardan (K ve E noktalarından) paralel doğrulara paralel yardımcı doğrular çizerek Z kuralını (iç ters açılar) uygulayarak da ispat yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir.

m(BAC^)=65∘m(\widehat{BAC}) = 65^\circ ve m(ADE^)=55∘m(\widehat{ADE}) = 55^\circ olduğuna göre, m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Üçgenin iç açılar toplamı ve yöndeş açılar özelliği kullanıldığında α\alpha açısının değeri 60∘60^\circ olarak bulunur.
Verilen [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] bilgisi sayesinde, DD köşesindeki 55∘55^\circ'lik açı ile BB köşesindeki açının yöndeş ve dolayısıyla eşit olduğu görülür. Büyük ABCABC üçgeninde AA açısı 65∘65^\circ ve BB açısı 55∘55^\circ olduğundan, iç açılar toplamı kuralı (180∘180^\circ) uygulandığında CC köşesindeki α\alpha açısına 60∘60^\circ kalmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] paralelliğini kullanarak yöndeş açıları belirle.
m(ABC^)=m(ADE^)=55∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADE}) = 55^\circ
Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde aynı yöne bakan açılar (yöndeş açılar) birbirine eşittir.
2
ABCABC üçgeninin iç açılarını topla ve 180∘180^\circ'ye eşitle.
65∘+55∘+α=180∘65^\circ + 55^\circ + \alpha = 180^\circ
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180∘180^\circ'dir.
3
Denklemi çözerek α\alpha değerini bul.
120∘+α=180∘⇒α=60∘120^\circ + \alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 60^\circ
Bilinen açıların toplamı 180∘180^\circ'den çıkarıldığında verilmeyen üçüncü açı bulunur.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasında kalan yöndeş açılar ve üçgenin iç açılar toplamı sabiti.

İpuçları

1
Paralel doğrular varsa, aynı yöne bakan (yöndeş) açılar birbirine eşittir.
2
D köşesindeki 55∘55^\circ'lik açı ile B köşesindeki açı yöndeştir. Bu bilgiyle ABC üçgeninin iki iç açısını bulmuş olursunuz.
3
Üçgenin iç açılar toplamının 180∘180^\circ olduğunu hatırla. 65+55+α=18065 + 55 + \alpha = 180 denklemini çözmelisin.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar bir üçgende taban açılarının eşitliği ile paralelliğin birleştirildiği sorulara göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

ADE küçük üçgeninin de iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğu için m(AED^)=180−(65+55)=60∘m(\widehat{AED}) = 180 - (65+55) = 60^\circ bulunur. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için α\alpha açısı ile AEDAED açısı yöndeştir ve birbirine eşittir.
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

Şekildeki ABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

m(ADC^)=110∘m(\widehat{ADC}) = 110^\circ
m(BAD^)=m(ACB^)m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB})

Bu verilere göre, m(ABC^)−m(DAC^)m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{DAC}) farkı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

İstenen açı farkı 40 derecedir.
Verilen eşit açılara α\alpha denildiğinde, üçgende dış açı kuralı gereği B açısı 110−α110 - \alpha, üçgen iç açılar toplamı gereği DAC açısı 70−α70 - \alpha bulunur. Bu iki ifadenin farkı alındığında α\alpha'lar sadeleşir ve sonuç 40 derece olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşit verilen açılara bir değişken ata.
m(BAD^)=m(ACB^)=αm(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB}) = \alpha olsun.
Bilinmeyen açıları cebirsel olarak ifade ederek aralarındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
ABD üçgeni için veya D köşesindeki dış açı özelliğini kullanarak m(B^)m(\widehat{B}) açısını α\alpha cinsinden ifade et.
Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: m(ADC^)=m(B^)+m(BAD^)⇒110∘=m(B^)+α⇒m(B^)=110∘−αm(\widehat{ADC}) = m(\widehat{B}) + m(\widehat{BAD}) \Rightarrow 110^\circ = m(\widehat{B}) + \alpha \Rightarrow m(\widehat{B}) = 110^\circ - \alpha
ABC açısını (B açısını) denklemde kullanmak için.
3
ADC üçgeninin iç açılar toplamını kullanarak m(DAC^)m(\widehat{DAC}) açısını α\alpha cinsinden ifade et.
m(DAC^)+m(C^)+m(ADC^)=180∘⇒m(DAC^)+α+110∘=180∘⇒m(DAC^)=70∘−αm(\widehat{DAC}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{DAC}) + \alpha + 110^\circ = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{DAC}) = 70^\circ - \alpha
İstenen fark işlemindeki diğer terimi bulmak için.
4
İstenen farkı hesapla.
m(ABC^)−m(DAC^)=(110∘−α)−(70∘−α)=110−70=40∘m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{DAC}) = (110^\circ - \alpha) - (70^\circ - \alpha) = 110 - 70 = 40^\circ
α\alpha değerleri birbirini götürür ve sonuç sabit bir sayı çıkar.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı Özellikleri (Dış Açı Kuralı)

İpuçları

1
Eşit verilen açılara bir isim (örneğin xx veya α\alpha) vererek başlayın.
2
ABD üçgeninde D köşesindeki dış açıyı (110∘110^\circ), B ve A açılarının toplamı şeklinde yazın.
3
m(B^)=110−αm(\widehat{B}) = 110 - \alpha ve m(DAC^)=70−αm(\widehat{DAC}) = 70 - \alpha ifadelerini birbirinden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgenlerin gizlendiği ve benzer şekilde değişkenlerin sadeleştiği sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi: m(BAD^)=m(ACB^)=10∘m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB}) = 10^\circ olsun. Bu durumda dış açı kuralından m(B^)=100∘m(\widehat{B}) = 100^\circ olur. ADC üçgeninde iç açılar toplamından (180−110−10180 - 110 - 10) m(DAC^)=60∘m(\widehat{DAC}) = 60^\circ olur. Fark: 100−60=40∘100 - 60 = 40^\circ.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

ABCABC bir üçgen, D∈[BC]D \in [BC] ve E∈[AB]E \in [AB] noktaları işaretlenmiştir. ∣AC∣=∣AD∣=∣DE∣=∣EB∣|AC| = |AD| = |DE| = |EB| ve m(ABC^)=25∘m(\widehat{ABC}) = 25^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Verilen ikizkenar üçgen zinciri ve dış açı kuralları uygulandığında m(BAC^)=80∘m(\widehat{BAC}) = 80^\circ olarak bulunur.
Doğru yanıt olan 80 değeri; önce ∣EB∣=∣DE∣|EB|=|DE| ikizkenarlığından hareketle dış açı kuralını kullanarak m(AED^)=50∘m(\widehat{AED})=50^\circ bulunması, ardından ∣AD∣=∣DE∣|AD|=|DE| ikizkenarlığından m(DAE^)=50∘m(\widehat{DAE})=50^\circ elde edilmesi ve son olarak ∣AC∣=∣AD∣|AC|=|AD| ikizkenarlığından m(CAD^)=30∘m(\widehat{CAD})=30^\circ bulunarak bu iki değerin toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
∣EB∣=∣DE∣|EB| = |DE| eşitliğini kullanarak △EBD\triangle EBD üçgenini inceleyiniz.
m(EDB^)=m(EBD^)=25∘m(\widehat{EDB}) = m(\widehat{EBD}) = 25^\circ bulunur.
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.
2
△EBD\triangle EBD üçgeninde EE köşesine ait dış açıyı hesaplayınız.
m(AED^)=25∘+25∘=50∘m(\widehat{AED}) = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ olur.
Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
3
∣AD∣=∣DE∣|AD| = |DE| eşitliğini kullanarak △ADE\triangle ADE üçgenini inceleyiniz.
m(DAE^)=m(AED^)=50∘m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{AED}) = 50^\circ bulunur.
İkizkenar üçgen özelliği gereği taban açıları eşittir.
4
△ABD\triangle ABD üçgeninin DD köşesindeki dış açısını (m(ADC^)m(\widehat{ADC})) hesaplayınız.
m(ADC^)=m(DAB^)+m(DBA^)=50∘+25∘=75∘m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{DAB}) + m(\widehat{DBA}) = 50^\circ + 25^\circ = 75^\circ olur.
Dış açı kuralı tüm üçgenler için geçerlidir.
5
∣AC∣=∣AD∣|AC| = |AD| eşitliğini kullanarak △ACD\triangle ACD üçgenini inceleyiniz.
m(ACD^)=m(ADC^)=75∘m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ADC}) = 75^\circ ve m(CAD^)=180∘−(75∘+75∘)=30∘m(\widehat{CAD}) = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 30^\circ olur.
İkizkenar üçgen taban açıları eşitliği ve iç açılar toplamı (180∘180^\circ) kuralı uygulanır.
6
m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açısının tamamını hesaplayınız.
m(BAC^)=m(CAD^)+m(DAB^)=30∘+50∘=80∘m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{DAB}) = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ bulunur.
AA açısı, CADCAD ve DABDAB açılarının toplamından oluşmaktadır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgen özellikleri ve üçgende dış açı kuralı.

İpuçları

1
İşe BB köşesindeki 25 derecelik açıyı kullanarak ∣EB∣=∣DE∣|EB|=|DE| ikizkenar üçgeninden başlayın.
2
Bir üçgende iki iç açının toplamının kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşit olduğunu hatırlayın; bu kuralı kullanarak adım adım AA köşesine ilerleyin.
3
m(DAB^)=50∘m(\widehat{DAB}) = 50^\circ ve m(DAC^)=30∘m(\widehat{DAC}) = 30^\circ bulduğunuzda, bu ikisini toplayarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda kenar eşitliklerini farklı sıralarla vererek (örneğin ∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| gibi) iç ve dış açılar arasındaki ilişkiyi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Şekilde [BA∥[DE[BA \parallel [DE olmak üzere, bir zikzak yapı verilmiştir. m(ABC^)=150∘m(\widehat{ABC}) = 150^\circ, m(CDE^)=110∘m(\widehat{CDE}) = 110^\circ ve ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| olduğuna göre, m(CBD^)m(\widehat{CBD}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40 derece
Soruda verilen paralellikten yararlanmak için C noktasından diğer doğrulara paralel bir doğru çizilir (M kuralı olarak da düşünülebilir: Sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir, ancak burada geniş açılar verildiği için bütünlerini kullanmak daha pratiktir). B açısının bütünleri 30°, D açısının bütünleri 70°'dir. Bu iki dar açının toplamı C açısını verir: 30° + 70° = 100°. Soruda |BC| = |CD| verildiği için BCD üçgeni ikizkenardır. Tepe açısı 100° olan ikizkenar üçgenin taban açıları eşittir ve her biri (180° - 100°) / 2 = 40° olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
C köşesinden [BA ve [DE ışınlarına paralel olacak şekilde sağa doğru bir [CF ışını çizin.
Üç paralel doğru oluşur: [BA // [CF // [DE
Kırık çizgilerin olduğu açılarda, kırılma noktasından paralellere yeni bir paralel çizmek standart çözüm yöntemidir.
2
Paralel doğrular arasındaki 'U kuralı' (karşı durumlu açılar) özelliğini kullanarak C açısının parçalarını bulun. Üst kısım için 180° - 150°, alt kısım için 180° - 110° işlemlerini yapın.
Üst parça 30°, alt parça 70° bulunur.
Paralel iki doğru arasında kalan karşı durumlu açıların toplamı 180 derecedir.
3
Bulunan parçaları toplayarak m(BCD) açısını hesaplayın.
m(BCD) = 30° + 70° = 100°
C köşesindeki toplam açı, bulunan iki parçanın toplamına eşittir.
4
BCD üçgeninin ikizkenar (|BC|=|CD|) olduğunu kullanarak taban açılarını hesaplayın. Tepe açısı 100° olan ikizkenar üçgenin taban açılarını bulun: (180° - 100°) / 2.
m(CBD) = 40°
İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir ve üçgenin iç açılar toplamı 180 derecedir.

Anahtar Kavram

Paralel doğrularda açı özellikleri (M kuralı/U kuralı) ve ikizkenar üçgenin taban açıları.

İpuçları

1
C noktasından, [BA ve [DE ışınlarına paralel olacak şekilde üçüncü bir doğru çizmeyi deneyin.
2
Paralel doğrular arasındaki açılardan yararlanarak m(BCD) açısını bulun. Sola bakan dar açıların toplamı, sağa bakan açıya (C açısına) eşittir kuralını veya U kuralını hatırlayın.
3
C açısını 100° bulduktan sonra, soruda verilen |BC| = |CD| eşitliğine dikkat edin. Oluşan BCD üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgen yerine eşkenar üçgenin oluştuğu benzer bir zikzak sorusu çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

Bir ABCABC üçgeninde [BC][BC] kenarı doğrusal bir şekilde DD noktasına kadar uzatılmıştır. Şekilde verilen m(BAC^)=65∘m(\widehat{BAC}) = 65^\circ ve m(ABC^)=55∘m(\widehat{ABC}) = 55^\circ ölçülerine göre, CC köşesindeki dış açının ölçüsü olan m(ACD^)=xm(\widehat{ACD}) = x kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Verilen bilgilere göre x açısının ölçüsü 120 derecedir.
Üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu nedenle 65∘65^\circ ve 55∘55^\circ olan iki iç açının toplamı olan 120 derecelik değer doğru sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının toplamını hatırla
İç açılar toplamı = 180∘180^\circ
Herhangi bir üçgende iç açıların ölçüleri toplamı daima sabittir.
2
Verilen iki iç açıyı topla
65∘+55∘=120∘65^\circ + 55^\circ = 120^\circ
Dış açıyı bulmak için kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamı kuralı kullanılır.
3
Dış açı kuralını uygula
x=120∘x = 120^\circ
Bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir (m(ACD^)=m(BAC^)+m(ABC^)m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC})).

Anahtar Kavram

Üçgende Dış Açı Özelliği

İpuçları

1
Bir üçgende iç açıların toplamı kaç derecedir?
2
Üçgenin C köşesindeki iç açıyı bulup, bunu 180 dereceye tamamlayarak x değerine ulaşabilirsin.
3
Pratik bir kural olarak: Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar bir üçgende taban açılarından biri ve tepe açısına ait dış açı arasındaki ilişkiyi inceleyen sorular çözebilirsin.

Alternatif Yöntem

Önce üçgenin içindeki C açısını bulalım: 180−(65+55)=180−120=60∘180 - (65 + 55) = 180 - 120 = 60^\circ. x açısı C iç açısının bütünleri olduğu için x=180−60=120∘x = 180 - 60 = 120^\circ olur.
Tahmini Süre:45s
Soru 9Soru →

ABCABC bir üçgen, D∈[AC]D \in [AC] noktası işaretlenmiştir. ∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC|, m(ABD^)=36∘m(\widehat{ABD}) = 36^\circ ve m(DBC^)=42∘m(\widehat{DBC}) = 42^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

İç açılar toplamı kuralından yararlanılarak m(BAC^)=33∘m(\widehat{BAC}) = 33^\circ olarak bulunur.
Doğru yanıt olan 33 değeri, önce ∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| eşitliğinden CC açısının 69∘69^\circ olarak bulunması, ardından ABCABC üçgeninin tüm açılarının toplamının 180∘180^\circ olması kuralının uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
BDCBDC üçgeninin iç açılarını belirleyin.
m(BDC^)=m(BCD^)=69∘m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) = 69^\circ
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| olduğu için BDCBDC bir ikizkenar üçgendir. Taban açıları (180∘−42∘)/2=69∘(180^\circ - 42^\circ) / 2 = 69^\circ olur.
2
ABCABC üçgeninin BB köşesindeki toplam açıyı hesaplayın.
m(ABC^)=78∘m(\widehat{ABC}) = 78^\circ
m(ABC^)=m(ABD^)+m(DBC^)=36∘+42∘=78∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC}) = 36^\circ + 42^\circ = 78^\circ olur.
3
ABCABC üçgeninin iç açılar toplamını kullanarak AA açısını bulun.
m(BAC^)=33∘m(\widehat{BAC}) = 33^\circ
m(BAC^)+78∘+69∘=180∘m(\widehat{BAC}) + 78^\circ + 69^\circ = 180^\circ denkleminden m(BAC^)=180∘−147∘=33∘m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 147^\circ = 33^\circ elde edilir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban açılarının eşitliği ve bir üçgenin iç açılarının toplamının 180∘180^\circ olması.

İpuçları

1
Şekildeki ikizkenar olan BDCBDC üçgenine odaklanın.
2
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ise DD ve CC köşelerindeki açılar birbirine eşittir.
3
CC açısını bulduktan sonra ABCABC üçgeninin tamamındaki iç açılar toplamını 180 dereceye eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgenlerde dış açı özelliklerini kullanarak aynı soruyu çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

ABCABC bir üçgen ve DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD|, m(DAC^)=48∘m(\widehat{DAC}) = 48^\circ ve m(BAD^)=m(ACB^)m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB}) eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, m(ABC^)m(\widehat{ABC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

Doğru cevap 76 derecedir.
Verilen açı eşitlikleri ve ikizkenar üçgen özelliği kullanılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde B açısının 76 derece olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken atama
m(BAD^)=αm(\widehat{BAD}) = \alpha ve m(ABC^)=βm(\widehat{ABC}) = \beta diyelim.
Bilinmeyen açıları ifade etmek için harflendirme yöntemi kullanılır.
2
Verilen eşitlikleri kullanma
m(BAD^)=m(ACB^)m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB}) olduğu için m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha olur.
Soruda verilen açı eşitliği değişkene yansıtılır.
3
İkizkenar üçgen özelliğini kullanma
∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD| olduğu için △ABD\triangle ABD ikizkenardır. Taban açıları eşittir, yani m(ADB^)=m(ABC^)=βm(\widehat{ADB}) = m(\widehat{ABC}) = \beta olur.
İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları birbirine eşittir.
4
Denklem sistemi kurma
1. △ABD\triangle ABD iç açılar toplamı: α+β+β=180∘⇒α+2β=180\alpha + \beta + \beta = 180^\circ \Rightarrow \alpha + 2\beta = 180
2. △ABC\triangle ABC iç açılar toplamı: (α+48)+β+α=180∘⇒2α+β=132(\alpha + 48) + \beta + \alpha = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + \beta = 132
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ kuralı her iki üçgen için de uygulanır.
5
Sistemi çözme
İkinci denklemi -2 ile genişletelim: −4α−2β=−264-4\alpha - 2\beta = -264. Bunu birinci denklemle toplayalım: (α+2β)+(−4α−2β)=180−264⇒−3α=−84⇒α=28∘(\alpha + 2\beta) + (-4\alpha - 2\beta) = 180 - 264 \Rightarrow -3\alpha = -84 \Rightarrow \alpha = 28^\circ.
Yok etme metodu ile bilinmeyenlerden biri bulunur.
6
Sonucu bulma
Bulunan α\alpha değerini birinci denklemde yerine koyalım: 28+2β=180⇒2β=152⇒β=76∘28 + 2\beta = 180 \Rightarrow 2\beta = 152 \Rightarrow \beta = 76^\circ. İstenen açı m(ABC^)=β=76∘m(\widehat{ABC}) = \beta = 76^\circ.
Bulunan değer denklemde yerine konularak istenen açı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgen ve Denklem Kurma
Soru 11Soru →

Bir ABCABC üçgeninin iç bölgesinde, üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bulunan bir KK noktası işaretleniyor (∣KA∣=∣KB∣=∣KC∣|KA| = |KB| = |KC|).

m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ ve m(ACB^)=50∘m(\widehat{ACB}) = 50^\circ olduğuna göre, m(AKB^)m(\widehat{AKB}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

100
K noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir (köşelere eşit uzaklıkta olduğu için). Çemberde merkez açı, aynı yayı gören çevre açının iki katıdır. Sorulan AKB^\widehat{AKB} açısı ABAB kenarına bakmaktadır. ABAB kenarını gören çevre açı ise CC açısıdır (50∘50^\circ). Bu nedenle m(AKB^)=2⋅m(C^)=2⋅50=100∘m(\widehat{AKB}) = 2 \cdot m(\widehat{C}) = 2 \cdot 50 = 100^\circ bulunur. Alternatif olarak ikizkenar üçgen özellikleri kullanılarak da çözülebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ∣KA∣=∣KB∣=∣KC∣|KA|=|KB|=|KC| eşitliğinden yola çıkarak KABKAB, KBCKBC ve KACKAC üçgenlerinin ikizkenar olduğunu belirle.
KABKAB, KBCKBC, KACKAC ikizkenar üçgenlerdir.
Bir noktadan üçgenin köşelerine çizilen doğrular eşit uzunluktaysa, oluşan iç üçgenlerin her biri ikizkenardır.
2
İkizkenar üçgenlerin taban açılarına harf vererek denklem sistemi kur.
m(KBA^)=m(KAB^)=xm(\widehat{KBA})=m(\widehat{KAB})=x, m(KBC^)=m(KCB^)=ym(\widehat{KBC})=m(\widehat{KCB})=y, m(KAC^)=m(KCA^)=zm(\widehat{KAC})=m(\widehat{KCA})=z.
İkizkenar üçgenlerde taban açıları eşittir.
3
Verilen açı değerlerini bu harfler cinsinden yaz.
x+y=60∘x+y = 60^\circ (B açısı) ve y+z=50∘y+z = 50^\circ (C açısı). Ayrıca üçgenin iç açıları toplamından AA açısını bul: 180−(60+50)=70∘180 - (60+50) = 70^\circ, yani x+z=70∘x+z = 70^\circ.
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
4
Oluşan denklem sistemini çözerek xx değerini bul.
(x+y)+(x+z)−(y+z)=60+70−50⇒2x=80⇒x=40∘(x+y) + (x+z) - (y+z) = 60 + 70 - 50 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow x = 40^\circ.
AKB açısını bulmak için KABKAB üçgeninin taban açılarına (xx) ihtiyacımız vardır.
5
AKBAKB üçgeninin tepe açısını hesapla.
m(AKB^)=180−2x=180−80=100∘m(\widehat{AKB}) = 180 - 2x = 180 - 80 = 100^\circ.
Üçgen iç açıları toplamı.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bulunan nokta, o üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Bu durumda merkezdeki açı, gördüğü yayın (veya karşı köşedeki açının) iki katı ile ilişkilidir.

İpuçları

1
K noktasından köşelere çizilen doğru parçalarının eşitliği (∣KA∣=∣KB∣=∣KC∣|KA|=|KB|=|KC|), üç tane ikizkenar üçgen oluşturur.
2
KABKAB, KBCKBC ve KACKAC üçgenlerinin taban açılarına değişkenler vererek (x, y, z gibi) verilen 60 ve 50 derecelik açıları bu değişkenler cinsinden yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, K noktası iç teğet çember merkezi (iç açıortayların kesim noktası) olduğunda açıların nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol (Çevrel Çember): K noktası köşelere eşit uzaklıkta olduğundan çevrel çemberin merkezidir. AKB^\widehat{AKB} merkez açısı, aynı yayı gören ACB^\widehat{ACB} çevre açısının iki katıdır. m(AKB^)=2⋅m(C^)m(\widehat{AKB}) = 2 \cdot m(\widehat{C}).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 12Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde, BB köşesine ait iç açıortay ile CC köşesine ait dış açıortay DD noktasında kesişmektedir. m(BAC^)=4x+20∘m(\widehat{BAC}) = 4x + 20^\circ ve m(BDC^)=3x−10∘m(\widehat{BDC}) = 3x - 10^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

100 derece
Üçgenin bir köşesinden çizilen iç açıortay ile diğer köşesinden çizilen dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı (DD), tepe açısının (AA) yarısıdır. Yani m(D^)=m(A^)/2m(\widehat{D}) = m(\widehat{A}) / 2 bağıntısı vardır. Verilenler yerine konulduğunda 3x−10=(4x+20)/23x - 10 = (4x + 20) / 2 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=20x = 20 bulunur. Soruda m(BAC^)m(\widehat{BAC}) istendiği için 4x+204x + 20 ifadesinde x yerine 20 yazılır ve sonuç 100 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kuralı Tanımla
m(BDC^)=m(BAC^)2m(\widehat{BDC}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2}
Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasındaki açı, kullanılmayan üçüncü açının yarısına eşittir.
2
Denklem Kur
3x−10=4x+2023x - 10 = \frac{4x + 20}{2}
Verilen cebirsel ifadeler kurala uygulanır.
3
Denklemi Çöz
3x−10=2x+10⇒x=203x - 10 = 2x + 10 \Rightarrow x = 20
Eşitliğin her iki tarafı düzenlenerek bilinmeyen x değeri bulunur.
4
Sonucu Bul
m(BAC^)=4(20)+20=80+20=100∘m(\widehat{BAC}) = 4(20) + 20 = 80 + 20 = 100^\circ
Bulunan x değeri, sorulan açı ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Üçgende İç ve Dış Açıortay Arasındaki Açı Bağıntısı

İpuçları

1
Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay kesişiyorsa, kesiştikleri açı ile üçgenin diğer açısı arasında sabit bir oran vardır.
2
DD noktasındaki açı, AA köşesindeki açının yarısına eşittir: m(BDC^)=m(BAC^)2m(\widehat{BDC}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2}.
3
3x−103x - 10 ifadesini, 4x+204x + 20 ifadesinin yarısına eşitleyerek x'i bulun.

Daha Fazla Pratik

İki iç açıortayın kesiştiği (90+A/290 + A/2) ve iki dış açıortayın kesiştiği (90−A/290 - A/2) durumları da inceleyin.

Alternatif Yöntem

Formülü hatırlamıyorsanız, harflendirme yapabilirsiniz: m(ABD^)=m(DBC^)=am(\widehat{ABD})=m(\widehat{DBC})=a ve m(ACD^)=m(DCE^)=bm(\widehat{ACD})=m(\widehat{DCE})=b olsun. △ABC\triangle ABC için dış açı kuralından 2b=m(A^)+2a⇒m(A^)=2(b−a)2b = m(\widehat{A}) + 2a \Rightarrow m(\widehat{A}) = 2(b-a). △BDC\triangle BDC için dış açı kuralından b=m(D^)+a⇒m(D^)=b−ab = m(\widehat{D}) + a \Rightarrow m(\widehat{D}) = b-a. Buradan m(A^)=2⋅m(D^)m(\widehat{A}) = 2 \cdot m(\widehat{D}) olduğu görülür.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

ABC bir üçgen ve D noktası [BC] kenarı üzerinde bir noktadır.

∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD|
m(BAD^)=m(ACB^)m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB})
m(DAC^)=24∘m(\widehat{DAC}) = 24^\circ
Yukarıdaki verilere göre, m(ABC^)m(\widehat{ABC}) kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 68

Cevap

68
Verilen eşitlikler ve ikizkenar üçgen özellikleri kullanılarak kurulan denklem sisteminin (x+2y=180x+2y=180 ve y=x+24y=x+24) çözümü sonucunda m(ABC^)m(\widehat{ABC}) açısı 68 derece bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen açı eşitliklerini değişken kullanarak ifade et.
m(BAD^)=m(ACB^)=xm(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB}) = x olsun.
Bilinmeyen açıları ilişkilendirmek için değişkene ihtiyaç vardır.
2
İkizkenar üçgen özelliğini kullan.
∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD| olduğu için △ABD\triangle ABD ikizkenardır. Dolayısıyla taban açıları eşittir: m(ABC^)=m(ADB^)=ym(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADB}) = y.
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
3
Üçgende dış açı özelliğini (iki iç açının toplamı kendisine komşu olmayan dış açıya eşittir) △ADC\triangle ADC için uygula.
△ADC\triangle ADC üçgeninde D köşesindeki dış açı yy'dir. İç açılar 24∘24^\circ ve xx'tir. O halde: y=x+24∘y = x + 24^\circ.
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
4
△ABD\triangle ABD iç açılar toplamı bağıntısını yaz ve denklem sistemini çöz.
△ABD\triangle ABD için: x+y+y=180∘⇒x+2y=180x + y + y = 180^\circ \Rightarrow x + 2y = 180. (3. adımdaki x=y−24x = y - 24 eşitliğini yerine koyalım) (y−24)+2y=180⇒3y−24=180⇒3y=204⇒y=68(y - 24) + 2y = 180 \Rightarrow 3y - 24 = 180 \Rightarrow 3y = 204 \Rightarrow y = 68.
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
5
İstenen açıyı belirle.
Soruda m(ABC^)m(\widehat{ABC}) yani yy sorulmaktadır. Cevap 68'dir.
Bulunan y değeri sorulan açının kendisidir.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar İlişkileri ve Dış Açı Özelliği

İpuçları

1
Sorudaki eşit açıları (xx) ve ikizkenar üçgenin taban açılarını (yy) harflendirerek üçgenin iç açıları toplamını yazmayı deneyin.
2
ADC üçgeninde D köşesindeki dış açının, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu (y=x+24y = x + 24) hatırlayın.
3
İki denklem elde edeceksiniz: 1) ABDABD üçgeninden x+2y=180x + 2y = 180. 2) Dış açı kuralından y=x+24y = x + 24. Bu sistemi çözün.

Alternatif Yöntem

Değişken kullanmadan deneme-yanılma ile gitmek zordur ancak şıklardan gidilebilir: Şıkkı yy (taban açısı) olarak kabul edip, tepe açısını 180−2y180-2y bulup, bunun y−24y-24 değerine eşit olup olmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →

Şekilde verilen ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve m(BAC^)=48∘m(\widehat{BAC}) = 48^\circ'dir. BCBC kenarı doğrusal olarak DD noktasına kadar uzatıldığında oluşan ACDACD dış açısının ölçüsü (α\alpha) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 114

Cevap

İkizkenar üçgenin taban açısı 66 derece olduğundan, bu açıya komşu olan dış açı 114 derecedir.
İkizkenar üçgenin tepe açısı bilindiğinde, taban açıları hesaplanır (180−48=132180-48=132, 132/2=66132/2=66). İstenen dış açı, taban açısının bütünleridir (180−66=114180-66=114).

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgenin taban açılarının toplamını bulmak için tepe açısını 180 dereceden çıkar.
180∘−48∘=132∘180^\circ - 48^\circ = 132^\circ
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir.
2
Bir taban açısının ölçüsünü bulmak için toplamı ikiye böl.
132∘/2=66∘132^\circ / 2 = 66^\circ
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir (m(B^)=m(C^)m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})).
3
Dış açıyı (α\alpha) bulmak için iç açıyı 180∘180^\circ'den çıkar.
α=180∘−66∘=114∘\alpha = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ
Bir iç açı ile ona komşu olan dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir (doğru açı).

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban açıları eşittir ve bir iç açı ile komşu dış açısının toplamı 180 derecedir.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenin taban açılarının birbirine eşit olduğunu hatırlayınız.
2
Önce 180∘180^\circ'den tepe açısını çıkararak taban açılarının toplamını bulunuz.
3
Bir iç açı 66∘66^\circ ise, bunu 180∘180^\circ'ye tamamlayan dış açıyı hesaplayınız.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

Bir ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliği veriliyor. [AC][AC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınıyor. ∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ve m(ABD^)=33∘m(\widehat{ABD}) = 33^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

İstenen açının ölçüsü 38 derecedir.
Verilen iki farklı ikizkenarlık durumu kullanılarak açılar arasında bir denklem kurulmalıdır. ∣AC∣=∣AB∣|AC|=|AB| şartından büyük üçgenin taban açılarına xx denir. ∣BD∣=∣BC∣|BD|=|BC| şartından küçük üçgenin taban açıları da xx olur. Açı toplamları ve parça-bütün ilişkisinden x=33+(180−2x)x = 33 + (180-2x) denklemi elde edilir. Bu denklemden taban açısı 71∘71^\circ bulunur. Tepe açısı ise 180−2(71)=38∘180 - 2(71) = 38^\circ olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliklerini kullanarak açıları değişkenle ifade et
m(ACB^)=xm(\widehat{ACB}) = x olsun. ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğundan m(ABC^)=xm(\widehat{ABC}) = x olur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
2
İçteki ikizkenar üçgeni (BDCBDC) analiz et
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| olduğundan △BDC\triangle BDC ikizkenardır ve taban açıları eşittir: m(BDC^)=m(BCD^)=xm(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) = x.
Soruda verilen ikinci ikizkenarlık şartı kullanılır.
3
Üçgenin iç açıları toplamını kullanarak denklem kur
△BDC\triangle BDC üçgeninde tepe açısı: m(DBC^)=180∘−2xm(\widehat{DBC}) = 180^\circ - 2x. Ayrıca, m(ABC^)=m(ABD^)+m(DBC^)m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC}) eşitliğini yazarız: x=33∘+(180∘−2x)x = 33^\circ + (180^\circ - 2x).
Açılar arasındaki parça-bütün ilişkisi ve üçgen iç açı toplamı prensibi.
4
Denklemi çöz ve istenen açıyı bul
3x=213∘⇒x=71∘3x = 213^\circ \Rightarrow x = 71^\circ. İstenen m(A^)=180∘−2x=180∘−142∘=38∘m(\widehat{A}) = 180^\circ - 2x = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ.
Büyük üçgenin tepe açısını bulmak için taban açıları toplamını 180'den çıkarırız.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgen ve Açı Hesabı

İpuçları

1
Büyük üçgenin (ABCABC) taban açılarına xx diyerek başlayın.
2
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| olduğu için BDCBDC üçgeni de ikizkenardır ve taban açıları xx olur.
3
BB köşesindeki açının tamamı xx'tir. Bu açıyı 33∘33^\circ ve BDCBDC üçgeninin tepe açısı cinsinden yazarak bir eşitlik kurun.

Alternatif Yöntem

Dış açı özelliği kullanılarak: DD noktasındaki dış açı ADB^\widehat{ADB} olsun. Ancak bu soruda iç açılar toplamı yöntemi daha doğrudandır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 16Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeni biçimindeki kâğıt, [AB][AB] kenarı üzerindeki DD noktası ve [BC][BC] kenarı üzerindeki EE noktası boyunca katlandığında, BB köşesi AA köşesi ile çakışmaktadır.

m(ACB^)=42∘m(\widehat{ACB}) = 42^\circ
m(EAC^)=24∘m(\widehat{EAC}) = 24^\circ

Verilenlere göre, m(ABC^)m(\widehat{ABC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 57

Cevap

Katlama sonucu oluşan simetri kullanılarak m(ABC^)=57∘m(\widehat{ABC}) = 57^\circ bulunur.
Katlama işlemi BB noktasını AA'ya taşıdığı için ∣EB∣=∣EA∣|EB|=|EA| eşitliği sağlanır ve ABEABE üçgeni ikizkenar olur. Taban açıları m(B^)=m(EAB^)=xm(\widehat{B}) = m(\widehat{EAB}) = x olarak alınır. ABCABC üçgeninin iç açılar toplamı x+(x+24)+42=180x + (x+24) + 42 = 180 denklemini verir. Buradan 2x=1142x = 114 ve x=57x=57 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama özelliğini analiz et.
BB noktası AA noktasına katlandığına göre, [DE][DE] katlama çizgisi simetri eksenidir. Bu durumda ∣EA∣=∣EB∣|EA| = |EB| olur, yani ΔABE\Delta ABE bir ikizkenar üçgendir.
Katlama sorularında çakışan noktalar simetri ve eşit uzunluk belirtir.
2
Eşit açıları harflendir.
ΔABE\Delta ABE ikizkenar olduğundan taban açıları eşittir: m(ABE^)=m(BAE^)=xm(\widehat{ABE}) = m(\widehat{BAE}) = x diyelim.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
3
Büyük üçgende iç açılar toplamı bağıntısını kur.
ΔABC\Delta ABC için iç açılar: B^=x\widehat{B} = x, C^=42∘\widehat{C} = 42^\circ ve A^=x+24∘\widehat{A} = x + 24^\circ. Toplamları: x+(x+24)+42=180x + (x + 24) + 42 = 180.
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir.
4
Denklemi çöz.
2x+66=180⇒2x=114⇒x=57∘2x + 66 = 180 \Rightarrow 2x = 114 \Rightarrow x = 57^\circ.
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Katlama (Simetri) ve İkizkenar Üçgen Özellikleri

İpuçları

1
Bir kâğıdı katladığınızda üst üste gelen kenarların uzunlukları eşittir.
2
BB noktası AA noktasına geldiğine göre, ∣EB∣|EB| uzunluğu ∣EA∣|EA| uzunluğuna eşittir. Bu size hangi üçgen türünü hatırlatıyor?
3
ABEABE üçgeni ikizkenardır. m(B^)=m(EAB^)m(\widehat{B}) = m(\widehat{EAB}) eşitliğini kullanarak büyük üçgenin iç açılar toplamını yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir katlama sorusunda katlama çizgisinin açıortay olması özelliğini kullanan sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →

Bir ABCABC üçgeninde AA köşesinden [BC][BC] kenarına [AH][AH] dikmesi indirilmiş ve AA açısına ait [AD][AD] iç açıortayı çizilmiştir. m(ABC^)=74∘m(\widehat{ABC}) = 74^\circ ve m(ACB^)=38∘m(\widehat{ACB}) = 38^\circ olduğuna göre, yükseklik ile açıortay arasında kalan m(DAH^)m(\widehat{DAH}) açısı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Yükseklik ile açıortay arasında kalan açı 18 derecedir.
Doğru cevap olan 18 değeri, üçgenin AA açısının yarısı olan 34 dereceden, yükseklik ile kenar arasındaki 16 derecelik açının çıkarılmasıyla elde edilir. Ayrıca pratik kural gereği ∣74−38∣/2|74-38|/2 işlemi de aynı sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin iç açıları toplamından AA açısını bulalım.
m(BAC^)=180∘−(74∘+38∘)=180∘−112∘=68∘m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (74^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ
Üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180∘180^\circ derecedir.
2
[AD][AD] iç açıortay olduğu için AA açısını iki eş parçaya bölelim.
m(BAD^)=68∘/2=34∘m(\widehat{BAD}) = 68^\circ / 2 = 34^\circ
Açıortay, açıyı iki eşit parçaya bölen doğrudur.
3
ABHABH dik üçgeninde BAH^\widehat{BAH} açısını hesaplayalım.
m(BAH^)=90∘−74∘=16∘m(\widehat{BAH}) = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ
Dik üçgende dar açıların toplamı 90∘90^\circ derecedir.
4
Açıortay ile yükseklik arasındaki m(DAH^)m(\widehat{DAH}) açısını bulmak için farkı alalım.
m(DAH^)=m(BAD^)−m(BAH^)=34∘−16∘=18∘m(\widehat{DAH}) = m(\widehat{BAD}) - m(\widehat{BAH}) = 34^\circ - 16^\circ = 18^\circ
ADAD doğrusu ile AHAH doğrusu arasındaki bölge bu farkla bulunur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende aynı köşeden çıkan yükseklik ile iç açıortay arasındaki açı, diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısına eşittir: m(DAH^)=∣m(B^)−m(C^)∣2m(\widehat{DAH}) = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{C})|}{2}.

İpuçları

1
Önce AA köşesindeki iç açının tamamını bulun.
2
Yüksekliğin oluşturduğu dik üçgeni kullanarak BAH^\widehat{BAH} açısını hesaplayın.
3
Açıortay açısı ile yüksekliğin açısı arasındaki farkı bulun veya doğrudan ∣m(B)−m(C)∣/2|m(B) - m(C)| / 2 formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer [AD][AD] dış açıortay olsaydı, yükseklik ile arasındaki açının nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik formül: Bir üçgende bir köşeden inen yükseklik ile o köşeye ait iç açıortay arasındaki açı, taban açılarının farkının yarısıdır. Yani 74−382=18\frac{74 - 38}{2} = 18 derece.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, BB ve CC köşelerine ait dış açıortaylar üçgenin dışındaki bir DD noktasında kesişmektedir. Bu dış açıortayların oluşturduğu BDC^\widehat{BDC} açısının ölçüsü, AA köşesindeki iç açının ölçüsünden 15∘15^\circ daha küçüktür.

Buna göre, ABCABC üçgeninin AA köşesindeki iç açısı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

ABC üçgeninin A köşesindeki iç açısı 70 derecedir.
Üçgende iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü 90∘−m(A^)/290^\circ - m(\widehat{A})/2 bağıntısı ile bulunur. Soruda bu açının, AA açısının ölçüsünden 15 derece eksik olduğu ifade edilmiştir. Kurulan 90∘−m(A^)/2=m(A^)−15∘90^\circ - m(\widehat{A})/2 = m(\widehat{A}) - 15^\circ denklemi çözüldüğünde 1,5⋅m(A^)=105∘1,5 \cdot m(\widehat{A}) = 105^\circ ve buradan m(A^)=70∘m(\widehat{A}) = 70^\circ elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
AA açısının ölçüsüne bir değişken atayalım.
m(BAC^)=αm(\widehat{BAC}) = \alpha
Bilinmeyen açıyı matematiksel olarak ifade etmek için α\alpha sembolü seçildi.
2
Üçgende iki dış açıortay arasındaki açının ölçüsünü veren formülü belirleyelim.
m(BDC^)=90∘−α2m(\widehat{BDC}) = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}
Geometri kurallarına göre bir üçgende iki dış açıortayın kesişimiyle oluşan açı, tepe açısının yarısının 90 dereceden çıkarılmasıyla bulunur.
3
Soruda verilen '15 derece daha küçük' bilgisini kullanarak denklemi kuralım.
90∘−α2=α−15∘90^\circ - \frac{\alpha}{2} = \alpha - 15^\circ
Dış açıortayların oluşturduğu açının ölçüsü (90∘−α/290^\circ - \alpha/2), iç açının ölçüsünden (α\alpha) 15 eksiktir.
4
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözelim.
90∘+15∘=α+α2  ⟹  105∘=1,5α90^\circ + 15^\circ = \alpha + \frac{\alpha}{2} \implies 105^\circ = 1,5\alpha
Bilinmeyenler bir tarafa, bilinenler diğer tarafa toplanarak denklem sadeleştirildi.
5
α\alpha değerini bulmak için bölme işlemini gerçekleştirelim.
α=105∘1,5=70∘\alpha = \frac{105^\circ}{1,5} = 70^\circ
Denklemin her iki tarafı 1,5'e bölünerek AA açısının değeri hesaplandı.

Anahtar Kavram

Üçgende Dış Açıortay Özellikleri

İpuçları

1
Üçgende iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı ile üçüncü köşedeki iç açı arasındaki temel bağıntıyı hatırlayın.
2
DD noktasındaki açının ölçüsünü AA açısının ölçüsü cinsinden 90∘−m(A^)/290^\circ - m(\widehat{A})/2 şeklinde ifade edebilirsiniz.
3
Sorudaki sözel ilişkiyi 'Dış açı = A açısı - 15' şeklinde bir denklem olarak kurup çözüme gidin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu iç açıortayların kesişmesi durumu (90∘+m(A^)/290^\circ + m(\widehat{A})/2) için çözerek kuralları pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin dış açılarını 180∘−B180^\circ - B ve 180∘−C180^\circ - C olarak yazıp, bunların yarısını alarak BCDBCD üçgeninin iç açılar toplamından (180∘180^\circ) faydalanarak da aynı sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 19Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [AC][AC] kenarı üzerinde, EE noktası ise [BC][BC] kenarı üzerinde yer almaktadır. Üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasında;

* ∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD|
* ∣BE∣=∣ED∣=∣DC∣|BE| = |ED| = |DC|
* m(BAC^)=84∘m(\widehat{BAC}) = 84^\circ

eşitlikleri sağlandığına göre, m(ACB^)m(\widehat{ACB}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16 derecedir.
Verilen kenar eşitlikleri takip edildiğinde, sırasıyla EDCEDC, BEDBED ve ABDABD üçgenlerinin ikizkenar olduğu görülür. Açıları zincirleme olarak taşıdığımızda m(ADB^)=3αm(\widehat{ADB}) = 3\alpha değerine ulaşılır. ABDABD üçgeninde tepe açısı 84∘84^\circ olduğu için taban açılarının toplamı 96∘96^\circ olmalıdır. Buradan 6α=966\alpha = 96 denklemi ile aranan açının 16 derece olduğu kanıtlanır.

Adım Adım Çözüm

1
m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha olarak belirlensin.
m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha
Bilinmeyen açıyı değişken ile temsil etmek.
2
∣ED∣=∣DC∣|ED| = |DC| olduğu için EDCEDC ikizkenar üçgeninde taban açılarını eşitleyelim.
m(DEC^)=m(DCE^)=αm(\widehat{DEC}) = m(\widehat{DCE}) = \alpha
İkizkenar üçgen özelliği.
3
EDCEDC üçgeninin DD köşesindeki dış açısını (m(BDE^)m(\widehat{BDE})) hesaplayalım.
m(BDE^)=α+α=2αm(\widehat{BDE}) = \alpha + \alpha = 2\alpha
Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
4
∣BE∣=∣ED∣|BE| = |ED| olduğu için BEDBED ikizkenar üçgeninde taban açılarını eşitleyelim.
m(EBD^)=m(EDB^)=2αm(\widehat{EBD}) = m(\widehat{EDB}) = 2\alpha
İkizkenar üçgen özelliği.
5
BDCBDC üçgeninde DD köşesindeki dış açıyı (m(ADB^)m(\widehat{ADB})) hesaplayalım.
m(ADB^)=m(DBC^)+m(DCB^)=2α+α=3αm(\widehat{ADB}) = m(\widehat{DBC}) + m(\widehat{DCB}) = 2\alpha + \alpha = 3\alpha
Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
6
∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD| olduğu için ABDABD ikizkenar üçgeninde taban açılarını eşitleyelim.
m(ABD^)=m(ADB^)=3αm(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = 3\alpha
İkizkenar üçgen özelliği.
7
ABDABD üçgeninin iç açılar toplamını 180∘180^\circ'ye eşitleyelim.
84+3α+3α=180⇒6α=96⇒α=1684 + 3\alpha + 3\alpha = 180 \Rightarrow 6\alpha = 96 \Rightarrow \alpha = 16
Üçgenin iç açılar toplamı kuralı.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgen özellikleri ve dış açı teoreminin ardışık kullanımı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →

Şekildeki ABCDABCD dörtgeninde CC noktası ABDABD üçgeninin iç bölgesindedir. m(BAD^)=80∘m(\widehat{BAD}) = 80^\circ ve m(BCD^)=140∘m(\widehat{BCD}) = 140^\circ dir. [BK][BK] ve [DK][DK] sırasıyla ABC^\widehat{ABC} ve ADC^\widehat{ADC} açılarının açıortayları olup KK noktasında kesişmektedir. Buna göre, BKDBKD üçgeninin KK köşesine ait dış açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

BKD üçgeninin K köşesindeki dış açısı 70 derecedir.
İçbükey dörtgende (roket kuralı) taban açılarının açıortayları arasındaki açı, diğer iki açının aritmetik ortalamasıdır. 80+1402=110∘\frac{80+140}{2} = 110^\circ bulunur. Soruda bu açının dış açısı istendiğinden, 180−110=70∘180 - 110 = 70^\circ doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
İçbükey dörtgen (roket/şalvar) kuralı ve açıortay özelliği arasındaki ilişkiyi hatırla.
m(BKD^)=m(BAD^)+m(BCD^)2m(\widehat{BKD}) = \frac{m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{BCD})}{2} formülü kullanılır.
İçbükey bir dörtgende taban açılarının açıortaylarının kesişim açısı, tepe açısı ile içbükey açının aritmetik ortalamasına eşittir.
2
Verilen değerleri formülde yerine koyarak KK noktasındaki iç açıyı hesapla.
m(BKD^)=80+1402=2202=110∘m(\widehat{BKD}) = \frac{80 + 140}{2} = \frac{220}{2} = 110^\circ.
Aritmetik ortalama hesabı.
3
Bulunan iç açının bütünleri olan dış açıyı hesapla.
180∘−110∘=70∘180^\circ - 110^\circ = 70^\circ.
Bir üçgenin bir köşesindeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^\circ dir (doğru açı).

Anahtar Kavram

İçbükey Dörtgen ve Açıortay İlişkisi

İpuçları

1
İçbükey dörtgenin (roket şekli) iç açılarının toplamı ile ilgili kuralı veya açıortay formülünü hatırlayın.
2
Açıortayların kesişimindeki açı (KK), tepe açısı (AA) ile içbükey açının (CC) aritmetik ortalamasıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Doğruda ve Üçgende Açılar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin