Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDoğruda ve Üçgende Açılar

Bir ABCABC üçgeninde BB köşesine ait iç açıortay ile CC köşesine ait dış açıortay üçgenin dışındaki bir DD noktasında kesişmektedir. ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| ve m(ACB^)−m(BAC^)=30∘m(\widehat{ACB}) - m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olduğuna göre, m(BDC^)m(\widehat{BDC}) kaç derecedir?

  1. A
    20∘20^\circ
  2. 25∘25^\circCevap
  3. C
    30∘30^\circ
  4. D
    40∘40^\circ
  5. E
    50∘50^\circ

Cevap

25∘25^\circ değeridir.
Üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay kesiştiğinde oluşan m(BDC^)m(\widehat{BDC}) açısı, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açısının yarısıdır. ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| eşitliği, △BCD\triangle BCD üçgeninde taban açılarının eşit olmasını sağlar; bu da m(ABC^)m(\widehat{ABC}) ile m(BAC^)m(\widehat{BAC}) açılarının eşit olduğunu kanıtlar. Verilen fark bilgisiyle kurulan denklem sonucunda m(BAC^)=50∘m(\widehat{BAC}) = 50^\circ bulunur ve yarısı olan 25∘25^\circ doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Bir iç ve bir dış açıortay arasındaki ilişkiyi tanımla.
m(BDC^)=m(BAC^)2m(\widehat{BDC}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2}
Bir üçgende bir köşenin iç açıortayı ile diğer köşenin dış açıortayının kesişmesiyle oluşan açı, tepe açısının yarısına eşittir.
2
∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| bilgisini kullanarak üçgenler arası ilişkiyi kur.
m(ABC^)=m(BAC^)m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BAC})
△BCD\triangle BCD ikizkenar olduğundan m(CBD^)=m(BDC^)m(\widehat{CBD}) = m(\widehat{BDC}) olur. BDBD iç açıortay olduğundan m(ABC^)=2⋅m(CBD^)m(\widehat{ABC}) = 2 \cdot m(\widehat{CBD}), DD açısı kuralı gereği de m(BAC^)=2⋅m(BDC^)m(\widehat{BAC}) = 2 \cdot m(\widehat{BDC}) olduğundan bu iki açı eşittir.
3
m(BAC^)=αm(\widehat{BAC}) = \alpha diyerek denklem kur.
α+α+(α+30∘)=180∘⇒3α=150∘⇒α=50∘\alpha + \alpha + (\alpha + 30^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 150^\circ \Rightarrow \alpha = 50^\circ
m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve m(ACB^)=α+30∘m(\widehat{ACB}) = \alpha + 30^\circ (verilen farktan dolayı) olur. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğu için toplamları bu değere eşitlenir.
4
İstenen DD açısını hesapla.
m(BDC^)=50∘/2=25∘m(\widehat{BDC}) = 50^\circ / 2 = 25^\circ
DD açısı, AA açısının (α\alpha) yarısıdır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasındaki açı, üçüncü köşedeki açının yarısına eşittir.

İpuçları

1
Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının tepe açısıyla olan ilişkisini (yarısı olma kuralı) hatırla.
2
∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| eşitliğinden yola çıkarak △BCD\triangle BCD üçgeninin taban açılarını karşılaştır. BDBD bir açıortay olduğu için bu durum AA ve BB açısı arasında bir eşitlik doğuracaktır.
3
m(BAC^)=αm(\widehat{BAC}) = \alpha dersen, m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve m(ACB^)=α+30∘m(\widehat{ACB}) = \alpha + 30^\circ olur. Bu üçünün toplamını 180∘180^\circ yaparak α\alpha değerini bul.

Daha Fazla Pratik

İç ve dış açıortay özelliklerini pekiştirmek için 'Muhteşem Üçlü' ve 'Açıortayların kesim noktaları' konularına göz atabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Doğruda ve Üçgende Açılar

Bu konudan daha fazla soru