Examkin

Soru

Zorluk: ZorDoğruda ve Üçgende Açılar

Bir ABCABC üçgeninin iç bölgesinde, üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bulunan bir KK noktası işaretleniyor (∣KA∣=∣KB∣=∣KC∣|KA| = |KB| = |KC|).

m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ ve m(ACB^)=50∘m(\widehat{ACB}) = 50^\circ olduğuna göre, m(AKB^)m(\widehat{AKB}) kaç derecedir?

  1. 100Cevap
  2. B
    110
  3. C
    120
  4. D
    130
  5. E
    140

Cevap

100
K noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir (köşelere eşit uzaklıkta olduğu için). Çemberde merkez açı, aynı yayı gören çevre açının iki katıdır. Sorulan AKB^\widehat{AKB} açısı ABAB kenarına bakmaktadır. ABAB kenarını gören çevre açı ise CC açısıdır (50∘50^\circ). Bu nedenle m(AKB^)=2⋅m(C^)=2⋅50=100∘m(\widehat{AKB}) = 2 \cdot m(\widehat{C}) = 2 \cdot 50 = 100^\circ bulunur. Alternatif olarak ikizkenar üçgen özellikleri kullanılarak da çözülebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ∣KA∣=∣KB∣=∣KC∣|KA|=|KB|=|KC| eşitliğinden yola çıkarak KABKAB, KBCKBC ve KACKAC üçgenlerinin ikizkenar olduğunu belirle.
KABKAB, KBCKBC, KACKAC ikizkenar üçgenlerdir.
Bir noktadan üçgenin köşelerine çizilen doğrular eşit uzunluktaysa, oluşan iç üçgenlerin her biri ikizkenardır.
2
İkizkenar üçgenlerin taban açılarına harf vererek denklem sistemi kur.
m(KBA^)=m(KAB^)=xm(\widehat{KBA})=m(\widehat{KAB})=x, m(KBC^)=m(KCB^)=ym(\widehat{KBC})=m(\widehat{KCB})=y, m(KAC^)=m(KCA^)=zm(\widehat{KAC})=m(\widehat{KCA})=z.
İkizkenar üçgenlerde taban açıları eşittir.
3
Verilen açı değerlerini bu harfler cinsinden yaz.
x+y=60∘x+y = 60^\circ (B açısı) ve y+z=50∘y+z = 50^\circ (C açısı). Ayrıca üçgenin iç açıları toplamından AA açısını bul: 180−(60+50)=70∘180 - (60+50) = 70^\circ, yani x+z=70∘x+z = 70^\circ.
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
4
Oluşan denklem sistemini çözerek xx değerini bul.
(x+y)+(x+z)−(y+z)=60+70−50⇒2x=80⇒x=40∘(x+y) + (x+z) - (y+z) = 60 + 70 - 50 \Rightarrow 2x = 80 \Rightarrow x = 40^\circ.
AKB açısını bulmak için KABKAB üçgeninin taban açılarına (xx) ihtiyacımız vardır.
5
AKBAKB üçgeninin tepe açısını hesapla.
m(AKB^)=180−2x=180−80=100∘m(\widehat{AKB}) = 180 - 2x = 180 - 80 = 100^\circ.
Üçgen iç açıları toplamı.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bulunan nokta, o üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Bu durumda merkezdeki açı, gördüğü yayın (veya karşı köşedeki açının) iki katı ile ilişkilidir.

İpuçları

1
K noktasından köşelere çizilen doğru parçalarının eşitliği (∣KA∣=∣KB∣=∣KC∣|KA|=|KB|=|KC|), üç tane ikizkenar üçgen oluşturur.
2
KABKAB, KBCKBC ve KACKAC üçgenlerinin taban açılarına değişkenler vererek (x, y, z gibi) verilen 60 ve 50 derecelik açıları bu değişkenler cinsinden yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, K noktası iç teğet çember merkezi (iç açıortayların kesim noktası) olduğunda açıların nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol (Çevrel Çember): K noktası köşelere eşit uzaklıkta olduğundan çevrel çemberin merkezidir. AKB^\widehat{AKB} merkez açısı, aynı yayı gören ACB^\widehat{ACB} çevre açısının iki katıdır. m(AKB^)=2⋅m(C^)m(\widehat{AKB}) = 2 \cdot m(\widehat{C}).
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Doğruda ve Üçgende Açılar

Bu konudan daha fazla soru