Dik kenar uzunlukları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgenin, hipotenüsü etrafında 360° döndü… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Dik kenar uzunlukları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgenin, hipotenüsü etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç $\pi$ cm³ tür?

Oluşan cismin hacmi 1200

\pi

cm³ tür.

Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, yarıçapı hipotenüse ait yükseklik (

h=12

) ve toplam yüksekliği hipotenüs (

25

) olan iki koni oluşur. Hacim formülü

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam}

kullanılarak

1200\pi

bulunur.

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesapla.

15-20-25

özel üçgeni (3-4-5'in 5 katı) olduğundan hipotenüs = 25 cm.

Dönme ekseni hipotenüs olduğu için cismin toplam yüksekliği bu uzunluk olacaktır.

Oluşan cismin şeklini ve boyutlarını belirle.

Hipotenüs etrafında dönme sonucu, tabanları çakışık iki koni oluşur. Ortak taban yarıçapı (

r

), üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.

Dönel cisimlerin hacmi için yarıçapın doğru belirlenmesi gerekir.

Üçgenin alan bağıntısından yarıçapı (

r

) bul.

Alan = \frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot r}{2} \Rightarrow 300 = 25r \Rightarrow r = 12

cm.

Dik kenarlar çarpımı ile hipotenüs ve yüksekliğin çarpımı birbirine eşittir.

Oluşan çift koninin toplam hacmini hesapla.

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam} = \frac{1}{3} \pi (12^2) \cdot 25 = \frac{1}{3} \pi (144) \cdot 25 = 48\pi \cdot 25 = 1200\pi

Tabanları aynı olan iki koninin hacimleri toplamı, taban alanı ile toplam yüksekliğin çarpımının 1/3'üdür.

Bir dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle, tabanları çakışık iki koni (çift koni) oluşur.

Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürdüğünüzde oluşan şekli hayal edin: Tabanları birbirine yapışık iki koni oluşur.

Oluşan konilerin taban yarıçapı, üçgenin hipotenüse inilen yüksekliğidir. Öklid bağıntısı veya alan formülünden bu yüksekliği (

h

) bulun.

15-20-25 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik

h = (15 \cdot 20)/25 = 12

cm'dir. Toplam hacim için

V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot (hipotenüs)

formülünü kullanın.

İki ayrı koni gibi düşünülerek: Üstteki koninin yüksekliği

h_1 = 9

, alttaki koninin yüksekliği

h_2 = 16

cm'dir (Öklid'den).

V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi (12^2)(9) + \frac{1}{3}\pi (12^2)(16) = 432\pi + 768\pi = 1200\pi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru