Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBinom Açılımı
(xa−1x)8(x^a - \frac{1}{x})^8 ifadesinin açılımında sabit terim 2828 olduğuna göre, aa pozitif tam sayısı kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

Verilen binom açılımında sabit terimi sağlayan a pozitif tam sayısı 3 olarak bulunur.
Binom açılımının genel terim formülü uygulandığında katsayının 28 olması için kombinasyonun alt indisinin 2 veya 6 olması gerekir. Sabit terim kuralı gereği x'in toplam üssü sıfır olmalıdır. a değerinin bir pozitif tam sayı olması şartını sadece r=6 durumu sağlar ve bu durumda a=3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazalım.
Tr+1=(8r)⋅(xa)8−r⋅(−1x)r=(8r)⋅(−1)r⋅xa(8−r)−rT_{r+1} = \binom{8}{r} \cdot (x^a)^{8-r} \cdot (-\frac{1}{x})^r = \binom{8}{r} \cdot (-1)^r \cdot x^{a(8-r)-r}
Binom açılımında herhangi bir terimi bulmak için genel terim formülü kullanılır.
2
Sabit terimin katsayısını kullanarak r değerini belirleyelim.
(8r)⋅(−1)r=28⇒r=2\binom{8}{r} \cdot (-1)^r = 28 \Rightarrow r = 2 veya r=6r = 6 (r çift olmalıdır).
Sabit terimin katsayısı 28 olarak verildiği için kombinasyon değerinin bu sayıya eşit olması ve işaretin pozitif kalması gerekir.
3
Sabit terim için x'in üssünü sıfıra eşitleyen denklemi kuralım.
a(8−r)−r=0a(8-r) - r = 0
Bir terimin sabit terim olabilmesi için değişkenin üssü sıfıra eşit olmalıdır.
4
Bulunan r değerlerini yerine yazarak a'yı bulalım.
r=6r=6 için a(8−6)−6=0⇒2a=6⇒a=3a(8-6) - 6 = 0 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3. (r=2r=2 için a=1/3a=1/3 tam sayı değildir).
Soruda a'nın pozitif bir tam sayı olduğu belirtilmiştir, bu nedenle sadece r=6 durumu şartı sağlar.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Sabit Terim

İpuçları

1
Sabit terimi bulmak için x'in üssünü sıfır yapmanız gerektiğini hatırlayın.
2
8'in hangi r'li kombinasyonunun 28 ettiğini belirleyerek r değerlerini bulun.
3
Kombinasyon simetrisinden r=2 veya r=6 olabilir; ancak r=6 değeri a'yı bir tam sayı yapar.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu katsayılar toplamı üzerinden çözerek n değerini bulma pratiği yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Terimleri tek tek yazmak yerine, genel terim ifadesinde katsayıyı veren kombinasyon değerlerini deneyerek a'nın tam sayı çıkıp çıkmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru