Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı A ve B kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir: A … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x < 60 \text{ ve } x, 4 \text{ ile kalansız bölünür}\}

B = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x < 60 \text{ ve } x, 6 \text{ ile kalansız bölünür}\}

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Verilen

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesi, kartezyen çarpımın özellikleri gereği

(A \cap B) \times (B \cap A)

ifadesine eşittir. Kesişim işlemi değişmeli olduğundan bu ifade aslında

(A \cap B) \times (A \cap B)

demektir.

A \cap B

kümesi, 60'tan küçük olup hem 4'e hem de 6'ya (yani EKOK'ları olan 12'ye) bölünen pozitif tam sayılardır. Bu sayılar

\{12, 24, 36, 48\}

olup toplam 4 tanedir. Kartezyen çarpımın eleman sayısı

s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 4 \cdot 4 = 16

olarak bulunur.

İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın kesişim özelliği kullanılarak sadeleştirme.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

Kesişim kümesinin değişme özelliğini kullanma.

A \cap B = B \cap A

olduğundan, ifade

(A \cap B) \times (A \cap B)

halini alır.

İşlemi basitleştirmek için kümelerin aynı olduğunu belirlemek gerekir.

A \cap B

kümesinin elemanlarını belirleme.

Hem 4'e hem 6'ya bölünen sayılar EKOK(4,6)=12'nin katlarıdır.

x < 60

şartını sağlayanlar:

\{12, 24, 36, 48\}

Ortak elemanları bulmak için sayıların en küçük ortak katı (EKOK) hesaplanır.

Eleman sayılarını kullanarak sonucu hesaplama.

s(A \cap B) = 4

olduğundan,

s((A \cap B) \times (A \cap B)) = 4 \times 4 = 16

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

İşlemi kolaylaştırmak için

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesini

(A \cap B) \times (B \cap A)

şeklinde yazabilirsiniz.

Bir sayının hem 4'e hem de 6'ya bölünebilmesi için, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) olan 12'ye bölünmesi gerekir.

60'tan küçük ve 12'nin katı olan kaç sayı olduğunu bulun, sonra bu sayıyı kendisiyle çarpın.

Benzer mantıkla,

(A \times B) \cup (A \times C)

ifadesinin eleman sayısını soran sorular çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru