Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFaktöriyel (Temel)

n>2n > 2 olan bir doğal sayı olmak üzere,

(n!)2−[(n−1)!]2n!+(n−1)!−(n2−3n)⋅(n−2)!=168 \frac{(n!)^2 - [(n-1)!]^2}{n! + (n-1)!} - (n^2 - 3n) \cdot (n-2)! = 168

eşitliği verilmektedir. Buna göre, nn değeri kaçtır?
  1. A
    5
  2. 6Cevap
  3. C
    7
  4. D
    8
  5. E
    9

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen denklemde kesirli ifade sadeleştirildiğinde n!−(n−1)!n! - (n-1)! elde edilir. Tüm ifade (n−2)!(n-2)! parantezine alındığında, parantez içi (n+1)(n+1) olarak sadeleşir. Sonuçta (n−2)!⋅(n+1)=168(n-2)! \cdot (n+1) = 168 denklemi bulunur ve bu denklemi sağlayan tek doğal sayı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesirli ifadenin payını iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayır ve sadeleştir.
((n)!−(n−1)!)(n!+(n−1)!)n!+(n−1)!=n!−(n−1)! \frac{((n)! - (n-1)!)(n! + (n-1)!)}{n! + (n-1)!} = n! - (n-1)!
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullanmak işlemi basitleştirir.
2
Elde edilen ifadeyi (n−2)!(n-2)! parantezine alacak şekilde düzenle.
n!−(n−1)!=(n−1)!(n−1)=(n−2)!(n−1)2 n! - (n-1)! = (n-1)!(n-1) = (n-2)!(n-1)^2
Tüm terimleri en küçük faktöriyel olan (n−2)!(n-2)! cinsinden yazmak ortak paranteze almayı sağlar.
3
Ana denklemde yerine koy ve (n−2)!(n-2)! parantezine al.
(n−2)![(n−1)2−(n2−3n)]=168 (n-2)! [ (n-1)^2 - (n^2 - 3n) ] = 168
Ortak çarpan parantezi polinom ifadelerini birleştirmeyi sağlar.
4
Köşeli parantez içindeki polinomu sadeleştir.
(n2−2n+1)−(n2−3n)=n+1 (n^2 - 2n + 1) - (n^2 - 3n) = n + 1
Cebirsel sadeleştirme sonucu basit bir çarpan elde edilir.
5
Son denklemi çöz: (n−2)!⋅(n+1)=168(n-2)! \cdot (n+1) = 168.
n=6n=6 için: 4!⋅7=24⋅7=1684! \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168. Doğru değer 6'dır.
Deneme-yanılma yoluyla veya 168'in çarpanlarına bakılarak n değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde iki kare farkı özdeşliği ve ortak paranteze alma yöntemiyle sadeleştirme.

İpuçları

1
Kesirli ifadenin pay kısmında x2−y2x^2 - y^2 (iki kare farkı) özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
Kesirli ifadeyi sadeleştirdikten sonra, tüm terimleri en küçük faktöriyel olan (n−2)!(n-2)! cinsinden ifade edip ortak paranteze alın.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel ve polinom sadeleştirmesi içeren benzer sorular çözerek pratik yapın.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru