Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Sayma)
aa ve bb pozitif tam sayılardır.
a!b!=990 \frac{a!}{b!} = 990
olduğuna göre, bb'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    989
  2. B
    990
  3. 997Cevap
  4. D
    998
  5. E
    1001

Cevap

Doğru cevap 997'dir.
Faktöriyel bölme işlemi a!b!\frac{a!}{b!}, ardışık sayıların çarpımı anlamına gelir. Çarpımı 990 olan ardışık sayı dizileri aranmalıdır. Birinci durum, sayının kendisidir: a=990a=990 ve b=989b=989 (çünkü 990!989!=990\frac{990!}{989!} = 990). İkinci durum, 990'ın ardışık çarpanlarıdır: 11⋅10⋅9=99011 \cdot 10 \cdot 9 = 990. Bu durumda a=11a=11 ve b=8b=8 (çünkü 11!8!=11⋅10⋅9\frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9). bb'nin alabileceği değerler 989 ve 8 olup, toplamları 997'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği düzenleyin ve anlamını belirleyin.
a!=990⋅b!a! = 990 \cdot b! veya a!b!=990\frac{a!}{b!} = 990 olarak yazılır. Bu ifade, bb'den büyük ve aa'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımının 990 olduğunu gösterir.
Faktöriyel tanımı gereği a!b!=a(a−1)...(b+1)\frac{a!}{b!} = a(a-1)...(b+1) çarpımına eşittir.
2
Tek çarpanlı (aşikar) durumu inceleyin.
990 sayısı tek bir sayı olarak düşünülebilir. Bu durumda çarpım sadece aa'dan ibarettir. a=990a=990 için 990!989!=990\frac{990!}{989!} = 990 olur. Buradan ilk değer b1=989b_1 = 989 bulunur.
Her nn sayısı için n!(n−1)!=n\frac{n!}{(n-1)!} = n eşitliği geçerlidir.
3
Çok çarpanlı durumları (ardışık sayı dizilerini) araştırın.
990 sayısını ardışık çarpanlarına ayıralım. 990=10⋅99=10⋅9⋅11990 = 10 \cdot 99 = 10 \cdot 9 \cdot 11. Sayıları sıralarsak 11⋅10⋅9=99011 \cdot 10 \cdot 9 = 990 elde edilir. Bu çarpım 11!8!=11⋅10⋅9\frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 ifadesine karşılık gelir. Buradan a=11a=11 ve b2=8b_2=8 bulunur.
990 sayısı üç ardışık sayının çarpımı şeklinde yazılabilir.
4
Başka durum olup olmadığını kontrol edip sonuçları toplayın.
Başka ardışık çarpım (örneğin 2 veya 4 sayılı) 990 sonucunu vermez. Bulunan bb değerleri 989 ve 8'dir. Toplam: 989+8=997989 + 8 = 997.
Farklı çözüm kümelerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Çarpımı ve Faktöriyel

İpuçları

1
Verilen a!b!=990\frac{a!}{b!} = 990 eşitliğini, ardışık sayıların çarpımı olarak düşünün. Örneğin 5!3!=5⋅4=20\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20 gibi.
2
Çarpımı 990 olan ardışık sayı gruplarını arayın. Bir grup sadece tek bir sayıdan (990) oluşabilir.
3
990 sayısını çarpanlarına ayırın: 99⋅1099 \cdot 10. Bunu ardışık üç sayının çarpımı (n⋅(n−1)⋅(n−2)n \cdot (n-1) \cdot (n-2)) şeklinde yazmaya çalışın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x,y) ikilisi olduğunu bulunuz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru