Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bir kenar uzunluğu 1212 cm olan ABCABC eşkenar üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınıyor. DD noktasından [AB][AB] kenarına inilen dikmenin ayağı EE, [AC][AC] kenarına inilen dikmenin ayağı FF'dir.

AEDFAEDF dörtgeninin alanı 26326\sqrt{3} cm 2^2 olduğuna göre, ∣BD∣|BD| uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Dörtgenin alanından yola çıkarak ∣BD∣|BD| uzunluğu 4 cm olarak bulunur.
Doğru cevap, eşkenar üçgenin alanından köşelerdeki 30-60-90 üçgenlerinin alanlarının çıkarılmasıyla kurulan x2−12x+32=0x^2 - 12x + 32 = 0 denkleminin köküdür (x=4x=4).

Adım Adım Çözüm

1
AEDFAEDF dörtgeninin alanını bulmak için, tüm üçgenin alanından köşelerdeki dik üçgenlerin (triangleBED\\triangle BED ve triangleDFC\\triangle DFC) alanlarını çıkarma yöntemini belirle.
Alan(AEDFAEDF) = Alan(ABCABC) - [Alan(BEDBED) + Alan(DFCDFC)]
Düzgün olmayan dörtgenin alanını bulmanın en pratik yolu, bilinen büyük şekilden parça çıkarmaktır.
2
ABCABC eşkenar üçgeninin alanını hesapla (kenar a=12a=12).
Alan(ABCABC) = frac122sqrt34=36sqrt3\\frac{12^2\\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3} cm 2^2.
Eşkenar üçgen alan formülü: fraca2sqrt34\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}.
3
∣BD∣=x|BD| = x diyerek ∣DC∣=12−x|DC| = 12-x olduğunu yaz ve oluşan 30-60-90 üçgenlerinin (triangleBED\\triangle BED ve triangleDFC\\triangle DFC) alanlarını xx cinsinden ifade et.
Alan(BEDBED) = frac12cdotfracx2cdotfracxsqrt32=fracx2sqrt38\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{x}{2} \\cdot \\frac{x\\sqrt{3}}{2} = \\frac{x^2\\sqrt{3}}{8}. Alan(DFCDFC) = frac(12−x)2sqrt38\\frac{(12-x)^2\\sqrt{3}}{8}.
30-60-90 üçgeninde hipotenüs kk ise, 30'un karşısı k/2k/2, 60'ın karşısı ksqrt3/2k\\sqrt{3}/2 olur.
4
Verilen dörtgen alanı (26sqrt326\\sqrt{3}) ile toplam alan eşitliğini kur ve xx için çöz.
36sqrt3−(fracx2sqrt38+frac(12−x)2sqrt38)=26sqrt336\\sqrt{3} - (\\frac{x^2\\sqrt{3}}{8} + \\frac{(12-x)^2\\sqrt{3}}{8}) = 26\\sqrt{3} denklemi çözüldüğünde x2−12x+32=0x^2 - 12x + 32 = 0 elde edilir.
Alanı verilen değere eşitleyerek bilinmeyeni bulmak için.
5
İkinci dereceden denklemin köklerini bul.
(x−4)(x−8)=0(x-4)(x-8)=0 olduğundan x=4x=4 veya x=8x=8. Şıklarda 4 olduğu için cevap 4'tür.
DD noktası simetrik iki konumda olabilir, soruda 'hangisi olabilir' denmesinin sebebi budur.

Anahtar Kavram

Eşkenar Üçgen Alan Parçalaması

İpuçları

1
Tüm üçgenin alanını hesaplayıp, köşelerde oluşan küçük dik üçgenlerin alanlarını toplam alandan çıkarmayı deneyin.
2
Köşelerde oluşan triangleBED\\triangle BED ve triangleDFC\\triangle DFC üçgenleri, 30-60-90 üçgenleridir. ∣BD∣=x|BD|=x derseniz dik kenarları xx cinsinden bulabilirsiniz.
3
∣BD∣=x|BD|=x ise ∣DC∣=12−x|DC|=12-x olur. AEDFAEDF alanı = (Tüm Alan) - (Alan(BEDBED) + Alan(DFCDFC)). Bu denklem size xx'e bağlı ikinci dereceden bir denklem verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir karenin köşesinden parça kesilerek oluşturulan alan sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yamuk Alanı Yöntemi: EE ve FF noktalarının koordinatlarını veya yüksekliklerini belirleyip, şekli dik yamuklara bölerek de alan hesabı yapılabilir, ancak çıkarma yöntemi daha pratiktir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru