Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Yarıçapı 1515 cm olan daire biçimindeki bir kartondan, merkez açısı 216∘216^\circ olan bir daire dilimi kesilerek; kıvrılma kenarları çakışacak biçimde dik dairesel koni şeklinde bir cisim oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu koninin içine, tabana ve yan yüzeylere teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. A
    3
  2. B
    72\frac{7}{2}
  3. C
    4
  4. 92\frac{9}{2}Cevap
  5. E
    5

Cevap

Ku¨reninyarıc\capı92(4,5)cm′dir.Kürenin yarıçapı \frac{9}{2} (4,5) cm'dir.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna (l=15l=15) eşittir. rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} oranından koninin taban yarıçapı r=9r=9 cm bulunur. Pisagor bağıntısı ile koninin yüksekliği h=12h=12 cm elde edilir. Koninin içine sığacak en büyük küre, koninin dik kesiti olan tabanı 1818, kenarları 1515 cm olan ikizkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Alan=u⋅rku¨reAlan = u \cdot r_{küre} bağıntısından kürenin yarıçapı 92\frac{9}{2} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Daire diliminden koninin taban yarıçapını (rr) bulma
r=9r = 9 cm
Daire diliminin yarıçapı, koninin ana doğrusudur (l=15l=15). rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} formülünden r15=216360⇒r=9\frac{r}{15} = \frac{216}{360} \Rightarrow r=9.
2
Koninin yüksekliğini (hh) hesaplama
h=12h = 12 cm
Konide h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2 pisagor bağıntısından, h2+92=152⇒h=12h^2 + 9^2 = 15^2 \Rightarrow h = 12.
3
Koninin dik kesit üçgenini analiz etme
Tabanı 18 cm, ikiz kenarları 15 cm olan ikizkenar üçgen
Koninin içine yerleştirilen en büyük küre, koninin tepe noktasından ve taban çapından geçen dik kesit üçgeninin iç teğet çemberine karşılık gelir.
4
Üçgenin alanını ve yarı çevresini (uu) hesaplama
Alan =108= 108 cm², u=24u = 24 cm
Alan =Taban⋅Yu¨kseklik2=18⋅122=108= \frac{\text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}}{2} = \frac{18 \cdot 12}{2} = 108. Yarı çevre u=15+15+182=24u = \frac{15+15+18}{2} = 24.
5
İç teğet çemberin (kürenin) yarıçapını bulma
ρ=4,5\rho = 4,5 cm
Alan =u⋅ρ= u \cdot \rho formülünden, 108=24⋅ρ⇒ρ=10824=92=4,5108 = 24 \cdot \rho \Rightarrow \rho = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4,5.

Anahtar Kavram

Koni içine yerleştirilen küre problemleri, koninin dik kesit üçgeninin iç teğet çemberi problemine indirgenerek çözülür.

İpuçları

1
Önce daire diliminin özelliklerini kullanarak koninin taban yarıçapını ve yüksekliğini hesaplayın. (Formül: r/l = α/360)
2
Koninin tam ortasından dikey bir kesit aldığınızı hayal edin. Bu kesit bir ikizkenar üçgendir ve küre bu üçgenin içinde bir daire (iç teğet çember) olarak görünür.
3
Oluşan ikizkenar üçgenin tabanı 18 cm, yüksekliği 12 cm'dir. Üçgenin alanı hem (Taban x Yükseklik)/2 hem de (Yarı Çevre x İç Yarıçap) formülüyle bulunabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir koninin içine küre yerine, tabanı koninin tabanına oturan en büyük hacimli silindir yerleştirilseydi silindirin yüksekliği ne olurdu?

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: İç teğet çemberin merkezi I olsun. Tepe noktası A'dan tabana inen dikme H noktası olsun. A(I teğet noktası) üçgeni ile A(H taban köşesi) üçgeni benzerdir. Açıortay teoremi kullanılarak da oran bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru