Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel (Temel)
Verilen bir nn doğal sayısı için,
(n+1)!+n!=80⋅(n−1)! (n+1)! + n! = 80 \cdot (n-1)!
eşitliği sağlandığına göre, nn değeri kaçtır?
  1. 8Cevap
  2. B
    7
  3. C
    9
  4. D
    10
  5. E
    20

Cevap

Verilen denklemi sağlayan nn değeri 8'dir.
Denklemdeki (n+1)!(n+1)! ve n!n! ifadeleri (n−1)!(n-1)! cinsinden açılıp sadeleştirildiğinde n2+2n−80=0n^2 + 2n - 80 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü olan 8, eşitliği sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel ifadelerini en küçük olan (n−1)!(n-1)! cinsinden açalım.
(n+1)⋅n⋅(n−1)!+n⋅(n−1)!=80⋅(n−1)! (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! + n \cdot (n-1)! = 80 \cdot (n-1)!
Denklemin her iki tarafında ortak bir terim elde ederek sadeleştirme yapabilmek için.
2
Sol tarafı (n−1)!(n-1)! parantezine alalım.
(n−1)!⋅[(n+1)⋅n+n]=80⋅(n−1)! (n-1)! \cdot [(n+1) \cdot n + n] = 80 \cdot (n-1)!
Ortak çarpan parantezine alma kuralı uygulandı.
3
Her iki tarafı (n−1)!(n-1)! ifadesine bölerek sadeleştirelim.
(n+1)⋅n+n=80 (n+1) \cdot n + n = 80
nn bir doğal sayı olduğundan (n−1)!(n-1)! sıfırdan farklıdır ve sadeleşebilir.
4
Denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem haline getirelim.
n2+n+n=80⇒n2+2n−80=0 n^2 + n + n = 80 \Rightarrow n^2 + 2n - 80 = 0
Parantez dağıtıldı ve tüm terimler bir tarafa toplandı.
5
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
(n+10)(n−8)=0 (n+10)(n-8) = 0
Çarpımları -80, toplamları +2 olan sayılar +10 ve -8'dir.
6
Kökleri belirleyelim.
n=−10 n = -10 veya n=8 n = 8
nn bir doğal sayı olması gerektiği için n=8n = 8 değerini seçeriz.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme yapmak için büyük ifadeler küçük olanın cinsinden açılır (n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!).

İpuçları

1
Faktöriyel ifadelerini en küçük olanın ((n−1)! (n-1)! ) cinsinden yazmayı deneyin.
2
İfadeyi (n−1)!(n-1)! parantezine alıp sadeleştirdiğinizde karşınıza nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem çıkacaktır.
3
n2+2n−80=0n^2 + 2n - 80 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak pozitif olan kökü bulun.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında her zaman en küçük faktöriyel terimini baz alarak paranteze alma yöntemini kullanın.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri doğrudan denklemde yerine koyarak da çözüm aranabilir. Örneğin 8 için 9!+8!=8!(9+1)=10⋅8!=10⋅8⋅7!=80⋅7!9! + 8! = 8!(9+1) = 10 \cdot 8! = 10 \cdot 8 \cdot 7! = 80 \cdot 7! olduğu görülerek hızlıca doğrulanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru