Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı 44 cm ve yüksekliği 2020 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta 1212 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kap, tabanı üzerindeki bir nokta etrafında yavaşça eğilmeye başlanıyor. Su dökülmeye başladığı anda kabın tabanının yatay düzlemle yaptığı açının tanjantı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    32\frac{3}{2}
  3. 2Cevap
  4. D
    4
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

Kabın tabanının yatay düzlemle yaptığı açının tanjantı 2'dir.
Silindir eğildiğinde suyun dökülmemesi için hacminin sabit kalması gerekir. Bu durumda eğik silindirdeki suyun yüksekliklerinin ortalaması (2020 ve 44), başlangıçtaki yüksekliğe (1212) eşit olmalıdır. Oluşan geometrik yapıda yükseklik farkı (1616) ve taban çapı (88) arasındaki oran doğrudan taban açısının tanjantını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğik durumdaki suyun hacim özelliklerini belirleme
Hacim = π⋅r2⋅h1+h22\pi \cdot r^2 \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}
Silindir eğildiğinde içindeki suyun hacmi değişmez ve eğik durumdaki suyun ortalama yüksekliği, başlangıçtaki su yüksekliğine (h=12h=12) eşittir.
2
Su dökülmeye başladığı andaki uç değerleri hesaplama
h1=20h_1 = 20 cm ve h2=4h_2 = 4 cm
Su dökülmeye başladığı anda suyun bir tarafı kabın üst ağzına (h1=20h_1 = 20) ulaşır. 20+h22=12\frac{20 + h_2}{2} = 12 denkleminden diğer tarafın yüksekliği h2=4h_2 = 4 cm olarak bulunur.
3
Eğim açısını geometriye aktarma
Karşı kenar = 1616 cm, Komşu kenar = 88 cm
Kabın dik kesitinde oluşan dik üçgende, su yüzeyi (yatay) ile taban arasındaki açı θ\theta ise; karşı dik kenar yükseklik farkıdır (20−4=1620 - 4 = 16), komşu dik kenar ise taban çapıdır (2×4=82 \times 4 = 8).
4
Tanjant değerini hesaplama
tan⁡θ=168=2\tan \theta = \frac{16}{8} = 2
Tanjant fonksiyonu karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.

Anahtar Kavram

Eğik silindirde hacim korunumu ve ortalama yükseklik prensibi
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru