Examkin

Soru

Zorluk: ZorBinom Açılımı
(ax2−1x)n \left( ax^2 - \frac{1}{x} \right)^n ifadesinin açılımında 77 terim bulunmaktadır. Bu açılımın sabit terimi 6060 ve a>0a > 0 olduğuna göre, bu açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. -160Cevap
  2. B
    160
  3. C
    -80
  4. D
    120
  5. E
    -20

Cevap

Söz konusu binom açılımında x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 olarak bulunur.
İfadenin açılımında 77 terim olması n=6n=6 olduğunu gösterir. Sabit terimin xx'in üssünün sıfır olduğu (r=4r=4) terim olduğu tespit edilip katsayı 15a2=6015a^2=60 eşitliğinden a=2a=2 bulunur. x3x^3 lü terim için gerekli olan r=3r=3 değeri yerine yazıldığında katsayı (63)⋅23⋅(−1)3=−160\binom{6}{3} \cdot 2^3 \cdot (-1)^3 = -160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terim sayısından nn değerini belirleme
n+1=7⇒n=6n + 1 = 7 \Rightarrow n = 6
(x+y)n(x+y)^n açılımında n+1n+1 tane terim bulunur.
2
Genel terim formülünü yazma
Tr+1=(6r)(ax2)6−r(−1x)r=(6r)a6−r(−1)rx12−2r−rT_{r+1} = \binom{6}{r} (ax^2)^{6-r} \left( -\frac{1}{x} \right)^r = \binom{6}{r} a^{6-r} (-1)^r x^{12-2r-r}
Binom açılımındaki herhangi bir terimin yapısını belirlemek için genel formül kullanılır.
3
Sabit terimi bulmak için xx'in üssünü sıfıra eşitleme
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, değişkenin (xx) üssünün 00 olduğu terimdir.
4
aa değerini hesaplama
(64)a6−4(−1)4=60⇒15a2=60⇒a2=4⇒a=2\binom{6}{4} a^{6-4} (-1)^4 = 60 \Rightarrow 15 a^2 = 60 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2
Sabit terimin değeri 6060 olarak verildiği için denklem kurulur; a>0a > 0 olduğu için 22 seçilir.
5
x3x^3 lü terim için rr değerini belirleme
12−3r=3⇒3r=9⇒r=312 - 3r = 3 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
x3x^3 lü terimin katsayısını bulmak için üs 33 olmalıdır.
6
İstenen katsayıyı hesaplama
(63)a6−3(−1)3=20⋅23⋅(−1)=20⋅8⋅(−1)=−160\binom{6}{3} a^{6-3} (-1)^3 = 20 \cdot 2^3 \cdot (-1) = 20 \cdot 8 \cdot (-1) = -160
Bulunan nn, aa ve rr değerleri genel terim katsayısında yerine konur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı, terim sayısı ve sabit terim ilişkisi

Daha Fazla Pratik

Binom açılımında ortanca terimin katsayısını bulma veya rasyonel kuvvet içeren açılımlarda sabit terim bulma soruları çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru