Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

nn elemanlı ardışık tek tam sayılardan oluşan bir AA kümesi ile nn elemanlı ardışık çift tam sayılardan oluşan bir BB kümesi veriliyor. BB kümesinin en küçük elemanı, AA kümesinin en büyük elemanından 55 fazladır. Bu iki kümedeki tüm elemanların toplamı 10701070 ve BB kümesinin elemanları toplamı, AA kümesinin elemanları toplamından 230230 fazladır. Buna göre, nn kaçtır?

  1. A
    8
  2. 10Cevap
  3. C
    12
  4. D
    15
  5. E
    20

Cevap

Kümelerin her birinde bulunan eleman sayısı 10'dur.
Verilen bilgilere göre AA kümesinin toplamı SA=n(a+n−1)S_A = n(a+n-1) ve BB kümesinin toplamı SB=n(b+n−1)S_B = n(b+n-1) olarak yazılabilir. b−a=2n+3b-a = 2n+3 ilişkisi kullanıldığında toplamlar farkı SB−SA=n(2n+3)S_B - S_A = n(2n+3) olur. n(2n+3)=230n(2n+3) = 230 denklemini sağlayan tek pozitif tam sayı 10'dur. Ayrıca n=10n=10 değeri toplamın 1070 olması şartını da sağlar (SA=420,SB=650S_A=420, S_B=650).

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerinin elemanlarını ve toplamlarını temsil eden değişkenleri tanımlayın.
A={a,a+2,…,a+2n−2}A = \{a, a+2, \dots, a+2n-2\} ve B={b,b+2,…,b+2n−2}B = \{b, b+2, \dots, b+2n-2\} olsun.
Ardışık tek ve çift sayılar arasındaki fark 2 olduğu için terimler bu şekilde ifade edilir.
2
BB kümesinin en küçük elemanı ile AA kümesinin en büyük elemanı arasındaki ilişkiyi kurun.
b=(a+2n−2)+5⇒b=a+2n+3b = (a + 2n - 2) + 5 \Rightarrow b = a + 2n + 3
Soruda BB'nin en küçüğünün (bb), AA'nın en büyüğünden (a+2n−2a+2n-2) 5 fazla olduğu belirtilmiştir.
3
Kümelerin toplamları arasındaki farkı nn cinsinden ifade edin.
SB−SA=n×(b−a)=n×(a+2n+3−a)=n(2n+3)S_B - S_A = n \times (b - a) = n \times (a + 2n + 3 - a) = n(2n + 3)
Terim sayıları aynı olan iki aritmetik dizinin toplamları farkı, karşılıklı terimlerin farklarının toplamına eşittir.
4
n(2n+3)=230n(2n + 3) = 230 denklemini çözün.
2n2+3n−230=0⇒(2n+23)(n−10)=0⇒n=102n^2 + 3n - 230 = 0 \Rightarrow (2n + 23)(n - 10) = 0 \Rightarrow n = 10
Eleman sayısı negatif olamayacağı için n=10n=10 kökü seçilir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri arasındaki ilişkinin cebirsel yöntemlerle çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru