Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Analitik düzlemde köşe noktaları A(0,0), B(3,0), C(3,4) ve D(0,2) olan dörtgensel bölge, y ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç π\pi birimküptür?

  1. A
    18
  2. B
    24
  3. C
    28
  4. 30Cevap
  5. E
    36

Cevap

Oluşan cismin hacmi 30 π\pi birimküptür.
Dörtgensel bölge bir dikdörtgen (y=0 ile y=2 arası) ve bir üçgen (y=2 ile y=4 arası) olarak ikiye ayrılabilir. Alt parça tam bir silindir oluşturur (V=18πV=18\pi). Üst parça ise dolu bir silindirden bir koninin çıkarılmasıyla elde edilen formdadır (V=12πV=12\pi). Toplam hacim 30π30\pi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen noktaları koordinat düzleminde işaretleyin ve bölgeyi tanımlayın.
Bölge, altta 3×23 \times 2 boyutlarında bir dikdörtgen ve üstte dik kenarları 3 ve 2 birim olan bir dik üçgenin birleşiminden oluşan bir dik yamuktur.
Cismin geometrik yapısını anlamak için parçalara ayırma yöntemi en güvenilir yoldur.
2
Alt dikdörtgen parçasının (A-B-E-D) y ekseni etrafında dönmesiyle oluşan hacmi hesaplayın.
V1=πr2h=π(32)(2)=18πV_1 = \pi r^2 h = \pi (3^2)(2) = 18\pi birimküp.
Kenarları 3 ve 2 olan dikdörtgen, y ekseni (kısa kenar) etrafında döndüğünde yarıçapı 3, yüksekliği 2 olan bir silindir oluşturur.
3
Üst üçgen parçasının (D-E-C) y ekseni etrafında dönmesiyle oluşan hacmi hesaplayın. (Pappus Teoremi veya Silindirden Koni Çıkarma)
V2=Dıs¸ Silindir−Bos¸ Koni=π(32)(2)−13π(32)(2)=18π−6π=12πV_2 = \text{Dış Silindir} - \text{Boş Koni} = \pi(3^2)(2) - \frac{1}{3}\pi(3^2)(2) = 18\pi - 6\pi = 12\pi birimküp.
Üst parça, yarıçapı 3 ve yüksekliği 2 olan bir silindirin içinden, tepe noktası aşağıda olan bir koninin çıkarılmasıyla oluşan cisimdir.
4
İki parçanın hacmini toplayın.
Vtoplam=18π+12π=30πV_{\text{toplam}} = 18\pi + 12\pi = 30\pi birimküp.
Cisim bu iki hacmin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Dönel Cisimlerin Hacmi ve Pappus Teoremi

İpuçları

1
Şekli y ekseni üzerinde iki parçaya ayırarak düşünün: y=0y=0'dan y=2y=2'ye kadar olan kısım ve y=2y=2'den y=4y=4'e kadar olan kısım.
2
Alt parça (0-2 arası) basit bir silindirdir. Üst parçayı (2-4 arası) hesaplarken, oluşan şeklin dolu bir silindirden bir koninin çıkarılmış hali olduğunu fark edin.

Alternatif Yöntem

Pappus Teoremi (2. Teorem) ile çözüm: Alan ×\times Ağırlık Merkezinin Aldığı Yol. Yamuğun alanı 9 br², ağırlık merkezinin x bileşeni 5/3'tür. V=2π⋅(5/3)⋅9=30πV = 2\pi \cdot (5/3) \cdot 9 = 30\pi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru