Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Pozitif tam sayılardan oluşan ve elemanlarının toplamı 150150 olan ardışık sayı dizileri oluşturuluyor. Bu koşulu sağlayan ve en fazla sayıda terimden oluşan dizinin en küçük terimi kaçtır?

  1. 3Cevap
  2. B
    4
  3. C
    7
  4. D
    12
  5. E
    15

Cevap

En fazla sayıda terimden oluşan dizinin en küçük elemanı 3'tür.
Toplamları 150 olan ardışık pozitif tam sayılar için k(2a+k−1)=300k(2a+k-1)=300 eşitliği sağlanmalıdır. a≥1a \ge 1 koşulunu sağlayan en büyük kk değeri 15'tir. Bu durumda en küçük terim a=3a=3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık sayıların toplam formülünü kur.
Dizi aa sayısından başlasın ve kk tane terim içersin. Toplam formülü: k2(2a+k−1)=150\frac{k}{2}(2a + k - 1) = 150.
Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir.
2
Denklemi düzenle ve çarpanları analiz et.
k(2a+k−1)=300k(2a + k - 1) = 300. Burada kk (terim sayısı) ve (2a+k−1)(2a + k - 1) sayıları 300'ün çarpanlarıdır.
Bilinmeyenleri (a ve k) bulmak için tam sayı çarpanlarını incelemeliyiz.
3
kk değerini maksimize etmeye çalış (çünkü en fazla terim isteniyor).
2a+k−1>k2a + k - 1 > k olmalıdır (çünkü a≥1a \ge 1). Yani 300=k×X300 = k \times X ise X>kX > k olmalıdır. k2<300k^2 < 300 olduğundan k<17.3k < 17.3 olur.
Pozitif tam sayı şartı (a≥1a \ge 1) k'nın alabileceği üst sınırı belirler.
4
Olası en büyük kk değerlerini dene.
k=15k=15 için: 15×(2a+14)=300  ⟹  2a+14=20  ⟹  2a=6  ⟹  a=315 \times (2a + 14) = 300 \implies 2a + 14 = 20 \implies 2a = 6 \implies a = 3.
En büyük kk değeri 15 olduğunda denklem tam sayı çözümü vermektedir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı formülü ve çarpan analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru