Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Temel)
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
45!=y⋅12x 45! = y \cdot 12^x
eştliği veriliyor. Buna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    19
  2. 20Cevap
  3. C
    21
  4. D
    22
  5. E
    41

Cevap

x'in alabileceği en büyük değer 20'dir.
Soruda 45! sayısının içinde kaç adet 12 çarpanı olduğu sorulmaktadır. 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 olduğundan, her bir 12 çarpanı oluşturmak için iki adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyaç vardır. 45! içinde toplam 21 adet 3 çarpanı ve 41 adet 2 çarpanı bulunur. 41 adet 2 ile en fazla 20 adet 222^2 çifti oluşturulabilir (41/2=20,541/2 = 20,5). 21 adet 3 çarpanı olsa da, 2'ler tükendiği için en fazla 20 adet 12 sayısı oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban sayısını asal çarpanlarına ayır.
12=4⋅3=22⋅3112 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1
Faktöriyel içindeki çarpanları sayabilmek için tabanın asal olması gerekir.
2
Denklemi asal çarpanlar cinsinden yeniden yaz.
45!=y⋅(22⋅3)x=y⋅22x⋅3x45! = y \cdot (2^2 \cdot 3)^x = y \cdot 2^{2x} \cdot 3^x
Her bir asal çarpanın kaçıncı kuvvetinin gerektiğini belirlemek için.
3
45! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (sürekli bölme yöntemi).
45/3=1545/3 = 15, 15/3=515/3 = 5, 5/3=15/3 = 1. Toplam: 15+5+1=2115+5+1 = 21 adet.
3x3^x ifadesi için x≤21x \le 21 olmalıdır.
4
45! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.
45/2=2245/2 = 22, 22/2=1122/2 = 11, 11/2=511/2 = 5, 5/2=25/2 = 2, 2/2=12/2 = 1. Toplam: 22+11+5+2+1=4122+11+5+2+1 = 41 adet.
2'nin kuvvetleri sınırlayıcı olabilir.
5
Sınırlayıcı bileşeni belirle.
Bize 22x2^{2x} lazım. Elimde 41 tane 2 var. 2x≤41  ⟹  x≤20,52x \le 41 \implies x \le 20,5. Yani xx en çok 20 olabilir.
x değeri hem x≤21x \le 21 hem de x≤20x \le 20 şartını sağlamalıdır. Küçük olan değer (20) geçerlidir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel İçindeki Asal Çarpan Sayısı (Legendre Formülü)

İpuçları

1
12 sayısı asal değildir. Önce 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 şeklinde asal çarpanlarına ayırmalısınız.
2
45! sayısının içinde kaç tane 2 ve kaç tane 3 çarpanı olduğunu 'sürekli bölme' yöntemiyle ayrı ayrı hesaplayın.
3
12x=22x⋅3x12^x = 2^{2x} \cdot 3^x olduğu için, bulduğunuz 2 çarpanı sayısını 2'ye bölerek xx'in üst sınırını kontrol edin. Küçük olan değer cevaptır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 40!=A⋅18n40! = A \cdot 18^n sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz (Burada da 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2 olduğu için 3'ün karesine dikkat etmelisiniz).
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru