Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlı AA kümesi aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣x+2∈Z ve x<65}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid \sqrt{x+2} \in \mathbb{Z} \text{ ve } x < 65 \}

Buna göre, AA kümesinin elemanları arasından seçilen 2 elemanın toplamının 5 ile tam bölünebildiği kaç farklı alt küme oluşturulabilir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    9
  5. E
    12

Cevap

Toplamda 8 farklı alt küme oluşturulabilir.
Doğru cevap için AA kümesinin 9 elemanı eksiksiz belirlenmeli (özellikle −2-2 ve 6262), elemanlar 5 ile bölümünden kalanlara göre gruplanmalı ve toplamı 5'in katı olan 'Kalan 2' ve 'Kalan 3' grupları arasındaki eşleşme sayısı (4×2=84 \times 2 = 8) hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek için x+2=k\sqrt{x+2} = k eşitliğini kullanın. Burada kk, sonucu tam sayı yapan bir değerdir (k≥0k \ge 0).
x=k2−2x = k^2 - 2 formülü elde edilir.
Kareköklü bir ifadenin tam sayı olabilmesi için kök içinin tam kare olması gerekir.
2
x<65x < 65 şartını sağlayan kk değerlerini ve karşılık gelen xx elemanlarını listeleyin.
k2−2<65  ⟹  k2<67k^2 - 2 < 65 \implies k^2 < 67. kk değerleri 0,1,...,80, 1, ..., 8 olabilir.
A={−2,−1,2,7,14,23,34,47,62}A = \{-2, -1, 2, 7, 14, 23, 34, 47, 62\}.
Küme listesi oluşturulurken k=0k=0 için x=−2x=-2 gibi negatif değerler ve sınırdaki x=62x=62 değeri unutulmamalıdır.
3
Her bir elemanın 5 ile bölümünden kalanını (mod 5) bulun.
Mod 5 Kalanları:
-2 ≡\equiv 3
-1 ≡\equiv 4
2, 7, 47, 62 ≡\equiv 2
14, 34 ≡\equiv 4
23 ≡\equiv 3
Toplamın 5'e bölünebilmesi için kalanlar üzerinden işlem yapmak en pratik yoldur.
4
Kalan sınıflarını gruplayın ve toplamı 5'in katı olan ikilileri belirleyin.
Kalan 2: {2,7,47,62}\{2, 7, 47, 62\} (4 eleman)
Kalan 3: {−2,23}\{-2, 23\} (2 eleman)
Kalan 4: {−1,14,34}\{-1, 14, 34\} (3 eleman)

İstenen durum: (Kalan 2) + (Kalan 3) ≡5≡0\equiv 5 \equiv 0.
Diğer eşleşmeler (örn. 2+2=4, 3+4=7) 5'e tam bölünmez.
5
Uygun gruplardan seçim yaparak toplam kombinasyon sayısını hesaplayın.
4 (Kalan 2’den)×2 (Kalan 3’ten)=84 \text{ (Kalan 2'den)} \times 2 \text{ (Kalan 3'ten)} = 8 farklı alt küme.
Sayma kuralları gereği seçenekler çarpılır.

Anahtar Kavram

Kümeler ve Modüler Aritmetik

İpuçları

1
AA kümesinin elemanlarını bulmakla başlayın. x+2\sqrt{x+2} bir tam sayı ise x+2x+2 bir tam kare olmalıdır (0,1,4,9...0, 1, 4, 9...). Negatif xx değerlerini unutmayın.
2
x<65x < 65 şartına uyan tüm xx değerlerini listeleyin. Daha sonra her bir elemanın 5 ile bölümünden kalanını bulun.
3
Elemanları kalanlarına göre (Kalan 2, Kalan 3, Kalan 4...) gruplayın. İki sayının toplamının 5'e bölünmesi için kalanların toplamı 0 veya 5 olmalıdır. Hangi grupları eşleştirmelisiniz?

Daha Fazla Pratik

Aynı küme üzerinde, çarpımları 5 ile bölünebilen 2 elemanlı kaç alt küme olduğunu bulunuz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm 2'li kombinasyonları (C(9,2)=36C(9,2)=36) yazıp tek tek 5'e bölünüp bölünmediğini kontrol edebilirsiniz, ancak bu yöntem çok zaman alıcıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Kavramı ve Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru