Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı 44 cm ve yüksekliği 12π12\pi cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir rulo pastanın taban dairesi üzerindeki AA noktasından başlayıp, pastanın yan yüzeyi üzerinden iki tam tur atarak, AA noktasının tam üstündeki (üst taban dairesi üzerindeki) BB noktasına en kısa yoldan çekilecek bir krema şeridinin uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    12π12\pi
  2. B
    16π16\pi
  3. 20π20\piCevap
  4. D
    24π24\pi
  5. E
    28π28\pi

Cevap

Krema şeridinin uzunluğu 20π20\pi cm'dir.
Doğru cevap, silindirin yan yüzeyi açıldığında oluşan dik üçgenin hipotenüs uzunluğudur. Yükseklik 12π12\pi ve yatay kenar (iki turdan dolayı iki çevre uzunluğu) 16π16\pi olduğunda, Pisagor bağıntısından hipotenüs 20π20\pi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin yan yüzeyinin açınımını (dikdörtgen hali) düşünün. Silindir açıldığında, yan yüzey bir dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin düşey kenarı silindirin yüksekliğine (hh), yatay kenarı ise taban çevresine eşittir.
Yükseklik h=12πh = 12\pi cm.
Silindirin yan yüzeyi açıldığında yükseklik değişmez.
2
Taban çevresini hesaplayın.
Çevre =2πr=2π⋅4=8π= 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi cm.
Dairenin çevresi 2πr2\pi r formülü ile bulunur.
3
Şeridin iki tam tur attığı belirtildiği için, açınım dikdörtgeninde yatayda katedilen mesafeyi hesaplayın. Bu mesafe, taban çevresinin tur sayısı ile çarpımıdır.
Yatay Yol =2×C¸evre=2×8π=16π= 2 \times \text{Çevre} = 2 \times 8\pi = 16\pi cm.
Her bir tam tur, yatayda bir çevre uzunluğu kadar mesafe demektir. İki tur için bu mesafe iki katına çıkar.
4
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayarak hipotenüsü (en kısa yolu) bulun. Dik kenarlar 12π12\pi ve 16π16\pi'dir.
Uzunluk =(12π)2+(16π)2=144π2+256π2=400π2=20π= \sqrt{(12\pi)^2 + (16\pi)^2} = \sqrt{144\pi^2 + 256\pi^2} = \sqrt{400\pi^2} = 20\pi cm.
En kısa yol, açınım düzleminde başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren doğru parçasının (hipotenüsün) uzunluğudur. Burada 3-4-5 üçgeninin 4π4\pi katı olan 12-16-20 üçgeni oluşur.

Anahtar Kavram

Silindir yüzeyinde en kısa yol (geodezik eğri) problemleri, silindirin yan yüzeyinin düzlemsel açınımı yapılarak çözülür. Tur sayısı, açınımda yatayda gidilen çevre sayısını belirler.

İpuçları

1
Silindirin yan yüzeyini bir makasla kesip düz bir dikdörtgen olarak açtığınızı hayal edin.
2
Açılan dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliğidir (12π12\pi). Diğer kenarı ise, ip iki tur attığı için taban çevresinin iki katı uzunluğundadır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir koni yüzeyinde yarım tur veya tam tur atarak en kısa yolu bulan soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özel üçgenleri kullanabilirsiniz: Dik kenarlar 12π12\pi ve 16π16\pi ise, bunları 4π4\pi parantezine aldığınızda (3,4,x)(3, 4, x) üçgeni elde edersiniz. 3-4-5 üçgeni kuralından hipotenüs 5×4π=20π5 \times 4\pi = 20\pi olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru