Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım
Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈Z:∣x+1∣≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 1| \le 2\}
B={x∈Z:x2+x−6<0}B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 + x - 6 < 0\}

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    12
  3. 16Cevap
  4. D
    20
  5. E
    25

Cevap

16
İstenilen küme (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesidir. Kartezyen çarpımın dağılma özelliğine göre bu ifade (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşittir. Kümeler değişmeli olduğu için B∩A=A∩BB \cap A = A \cap B olur. Dolayısıyla sonuç s(A∩B)×s(A∩B)s(A \cap B) \times s(A \cap B) yani [s(A∩B)]2[s(A \cap B)]^2 olacaktır. AA ve BB kümelerinin ortak elemanları {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\} olup 4 tanedir. Cevap 42=164^2 = 16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çözeriz.
∣x+1∣≤2⇒−2≤x+1≤2⇒−3≤x≤1|x + 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le x + 1 \le 2 \Rightarrow -3 \le x \le 1. Tam sayı elemanlar: {−3,−2,−1,0,1}\{-3, -2, -1, 0, 1\}. (s(A)=5s(A)=5)
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.
2
B kümesinin elemanlarını bulmak için ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.
x2+x−6<0⇒(x+3)(x−2)<0x^2 + x - 6 < 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) < 0. Kökler −3-3 ve 22'dir. Eşitsizlik <0<0 olduğu için kökler arası alınır: (−3,2)(-3, 2). Tam sayı elemanlar: {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}. (s(B)=4s(B)=4)
İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu incelenerek çözüm aralığı bulunur.
3
İki kümenin kesişimini (A∩BA \cap B) buluruz.
A={−3,−2,−1,0,1}A = \{-3, -2, -1, 0, 1\} ve B={−2,−1,0,1}B = \{-2, -1, 0, 1\} olduğu için ortak elemanlar {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}'dir. s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4.
Kartezyen çarpımların kesişimini hesaplamak için önce kümelerin kesişimi gereklidir.
4
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini kullanarak sonucu hesaplarız.
s[(A×B)∩(B×A)]=s(A∩B)×s(B∩A)=4×4=16s[(A \times B) \cap (B \times A)] = s(A \cap B) \times s(B \cap A) = 4 \times 4 = 16.
Özellik: (A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D). Burada C=BC=B ve D=AD=A alınır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımların kesişimi, kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına eşittir: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B).

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazınız.

Daha Fazla Pratik

İki kümenin birleşiminin kartezyen çarpımı ile ilgili sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru