x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, 43! = 24^x \cdot y \neşitliği veriliyor. Buna göre, x'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, 43! = 24^x \cdot y \neşitliği veriliyor. Buna göre… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x

y

pozitif tam sayılar olmak üzere,

43! = 24^x \cdot y

eşitliği veriliyor. Buna göre,

x

'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

13Cevap
B
14
C
19
D
39
E
43

Cevap

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.

Doğru cevap 13'tür çünkü

24 = 2^3 \cdot 3

olduğundan, 43! içindeki

2^3

3

çarpanlarının sayısı karşılaştırılmalıdır. 3 çarpanı 19 adet bulunurken, 2 çarpanı 39 adet bulunur. Ancak her 24 sayısı için üç adet 2 gerektiğinden (

2^3

), elimizdeki 2'ler sadece

\lfloor 39/3 \rfloor = 13

adet grup oluşturabilir. 13 < 19 olduğu için kısıtlayıcı faktör 2'lerdir ve en çok 13 adet 24 sayısı elde edilebilir.

Adım Adım Çözüm

Taban sayısını asal çarpanlarına ayır.

24 = 2^3 \cdot 3^1

olarak yazılır. Bu, her bir 24 sayısı elde etmek için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyacımız olduğu anlamına gelir.

Bileşik sayı tabanlı sorularda işlem her zaman asal çarpanlar üzerinden yapılmalıdır.

43! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (Legendre Yöntemi).

43 \div 3 = 14

14 \div 3 = 4

4 \div 3 = 1

. Bölümler toplamı:

14 + 4 + 1 = 19

Bu sonuç, elimizde 19 adet 24 oluşturmaya yetecek kadar 3 çarpanı olduğunu gösterir.

43! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.

43 \div 2 = 21

21 \div 2 = 10

10 \div 2 = 5

5 \div 2 = 2

2 \div 2 = 1

. Bölümler toplamı:

21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39

Toplamda 39 adet 2 çarpanı vardır.

2 çarpanlarını gruplayarak kaç adet

2^3

oluşturulabileceğini hesapla.

Her grup için 3 adet 2 gerektiğinden:

\lfloor 39 / 3 \rfloor = 13

Toplam 2 sayısı, tabandaki 2'nin üssüne bölünerek kaç tam grup oluştuğu bulunur.

Kısıtlayıcı (küçük) olan değeri belirle.

3 çarpanları ile 19 tane,

2^3

grupları ile 13 tane 24 sayısı oluşturulabilir. Küçük olan değer (13) geçerlidir.

Bir ürünü oluşturmak için tüm bileşenler gereklidir; en az sayıda olan bileşen toplam üretim miktarını belirler.

Anahtar Kavram

Faktöriyelde Asal Çarpan Hesabı (Legendre Formülü)

İpuçları

Önce taban olan 24 sayısını asal çarpanlarına (

2^a \cdot 3^b

) ayırmalısınız.

43! içinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu ve kaç tane 2 çarpanı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın (sürekli bölme yöntemi ile).

Taban

2^3 \cdot 3

olduğu için, bulduğunuz toplam 2 sayısını 3'e bölerek kaç tane

2^3

grubu oluştuğunu bulun ve bunu 3 çarpanı sayısı ile kıyaslayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

40! = 12^x \cdot y

sorusunu çözerek bu sefer hangi asalın kısıtlayıcı olduğunu kontrol edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sadece 2 çarpanlarını kontrol etmek yeterli olabilir mi? Genellikle büyük asal sayı belirleyicidir ama taban kuvvetli ise (

2^3

) küçük asal sayı darboğaz yaratabilir. Emin olmak için ikisini de hesaplayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru