Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bir kenar uzunluğu 1515 cm olan ABCABC eşkenar üçgeni şeklindeki bir kağıt, [AB][AB] kenarı üzerindeki DD ve [AC][AC] kenarı üzerindeki EE noktalarından geçen [DE][DE] doğrusu boyunca katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda üçgenin AA köşesi, [BC][BC] kenarı üzerindeki KK noktası ile çakışmaktadır. ∣BK∣=3|BK| = 3 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    6
  2. 7Cevap
  3. C
    8
  4. D
    9
  5. E
    10

Cevap

Aranan ∣AD∣|AD| uzunluğu 7 cm'dir.
Katlama sorularında, katlanan bölgenin simetriği alındığı için uzunluklar ve açılar korunur. AA köşesi KK noktasına geldiğinden ∣AD∣=∣DK∣|AD| = |DK| eşitliği sağlanır. ∣AD∣=x|AD| = x denilirse, ∣DK∣=x|DK| = x ve ∣DB∣=15−x|DB| = 15-x olur. ABCABC eşkenar üçgen olduğundan m(B^)=60∘m(\widehat{B}) = 60^\circ'dir. DBKDBK üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında x2=(15−x)2+32−2(15−x)(3)cos⁡(60∘)x^2 = (15-x)^2 + 3^2 - 2(15-x)(3)\cos(60^\circ) denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=7x=7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama özelliğini kullanarak eşit kenarları belirle.
∣AD∣=∣DK∣=x|AD| = |DK| = x olarak tanımlanır.
Katlama işlemi bir izometridir (eşlik dönüşümü), bu nedenle katlanan kenar uzunlukları korunur.
2
DD noktasının [AB][AB] üzerindeki konumuna göre ∣DB∣|DB| uzunluğunu xx cinsinden ifade et.
∣DB∣=15−x|DB| = 15 - x
Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 15 cm verildiği için, ∣AB∣=∣AD∣+∣DB∣=15|AB| = |AD| + |DB| = 15 olmalıdır.
3
DBKDBK üçgeninde Kosinüs Teoremini uygula.
x2=(15−x)2+32−2(15−x)(3)cos⁡(60∘)x^2 = (15-x)^2 + 3^2 - 2(15-x)(3)\cos(60^\circ)
Eşkenar üçgenin BB açısı 60∘60^\circ dir. Kenar uzunlukları xx, (15−x)(15-x) ve 33 olan üçgende xx'i bulmak için bu teorem gereklidir.
4
Denklemi çöz.
x2=(225−30x+x2)+9−3(15−x)x^2 = (225 - 30x + x^2) + 9 - 3(15-x)
x2=234−30x+x2−45+3xx^2 = 234 - 30x + x^2 - 45 + 3x
0=189−27x0 = 189 - 27x
27x=189⇒x=727x = 189 \Rightarrow x = 7
Cebirsel işlemlerle bilinmeyen bulunur.

Anahtar Kavram

Katlama Sorularında Eşlik ve Kosinüs Teoremi

İpuçları

1
Katlama işleminde, katlanan kağıdın boyutları değişmez. ∣AD∣|AD| uzunluğu ile katlandıktan sonra oluşan ∣DK∣|DK| uzunluğu arasındaki ilişkiyi düşünün.
2
∣AD∣=x|AD| = x derseniz, ABCABC eşkenar üçgen olduğu için ∣DB∣|DB| uzunluğunu xx cinsinden yazabilirsiniz. Ayrıca m(B^)=60∘m(\widehat{B}) = 60^\circ olduğunu unutmayın.
3
DBKDBK üçgeninde kenarlar xx, 15−x15-x ve 33 birimdir. 60∘60^\circ'lik açıyı kullanarak Kosinüs Teoremini uygulayın: ∣DK∣2=∣DB∣2+∣BK∣2−2∣DB∣∣BK∣cos⁡(60∘)|DK|^2 = |DB|^2 + |BK|^2 - 2|DB||BK|\cos(60^\circ).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir katlama sorusunu dik üçgen üzerinde deneyerek Pisagor bağıntısını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

DD noktasından BCBC kenarına bir dikme indirerek (HH noktası), oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeni yardımıyla pisagor bağıntısı kullanılarak da çözülebilir. Ancak bu yöntem işlem açısından daha karmaşıktır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru