Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKüme Kavramı ve Gösterimi

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıda verilmiştir:

A={x∈Z+∣x≤150, EBOB(x,18)=3}A = \{ x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 150, \ \text{EBOB}(x, 18) = 3 \}
B={y∈Z+∣y≤150, EBOB(y,24)=4}B = \{ y \in \mathbb{Z}^+ \mid y \le 150, \ \text{EBOB}(y, 24) = 4 \}

Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    28
  2. 30Cevap
  3. C
    34
  4. D
    42
  5. E
    50

Cevap

A ve B kümeleri sırasıyla 17 ve 13 elemanlı olup kesişimleri boştur, toplam 30 eleman vardır.
A kümesi için x=3kx=3k ve ebob(k,6)=1\text{ebob}(k,6)=1 şartından k∈{1,5,7,11,…,49}k \in \{1, 5, 7, 11, \dots, 49\} olmak üzere 17 değer vardır. B kümesi için y=4my=4m ve ebob(m,6)=1\text{ebob}(m,6)=1 şartından m∈{1,5,7,…,37}m \in \{1, 5, 7, \dots, 37\} olmak üzere 13 değer vardır. A kümesi tek sayılardan, B kümesi çift sayılardan oluştuğu için ayrık kümelerdir. s(A∪B)=17+13=30s(A \cup B) = 17 + 13 = 30 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını analiz et.
x = 3k formatında olmalı ve EBOB(3k, 18) = 3 olduğundan EBOB(k, 6) = 1 olmalıdır. Yani k, 2 ve 3 ile bölünmemelidir.
EBOB tanımı gereği x, 18'in bölenlerinden sadece 3'ü içermeli, 2 veya 9 çarpanını içermemelidir.
2
A kümesinin eleman sayısını hesapla.
3k ≤ 150 ⇒ k ≤ 50. 1'den 50'ye kadar 2 ve 3'e bölünmeyen sayıları bulmalıyız. 50 sayıdan 2'ye bölünenleri (25) ve 3'e bölünenleri (16) çıkarıp, 6'ya bölünenleri (8) ekleriz. Ancak burada k'nın 2 ve 3 ile bölünmemesi gerektiği için: 50 - (25 + 16 - 8) = 17.
İçerme-Dışlama prensibi veya doğrudan sayma yöntemi.
3
B kümesinin elemanlarını analiz et.
y = 4m formatında olmalı ve EBOB(4m, 24) = 4 olduğundan EBOB(m, 6) = 1 olmalıdır. Yani m, 2 ve 3 ile bölünmemelidir.
EBOB(y, 24) = 4 olması için y, 4'ün katı olmalı ancak 8'in veya 12'nin katı olmamalıdır.
4
B kümesinin eleman sayısını hesapla.
4m ≤ 150 ⇒ m ≤ 37. 1'den 37'ye kadar 2 ve 3'e bölünmeyen sayılar: Toplam 37. 2'ye bölünen (18), 3'e bölünen (12), 6'ya bölünen (6). Sayı = 37 - (18 + 12 - 6) = 13.
m değerlerinin sayısını bulmak için eleme yöntemi.
5
Kesişim kümesini kontrol et ve toplamı bul.
A kümesindeki x sayıları 3k ve k tek (2 ile bölünmez) olduğu için x TEK sayıdır. B kümesindeki y sayıları 4m olduğu için y ÇİFT sayıdır. Kesişim boştur. Toplam = 17 + 13 = 30.
Tek ve çift sayıların ortak elemanı olamaz.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yöntemi ve EBOB İlişkisi

İpuçları

1
EBOB(x, 18) = 3 olması için x sayısı 3'ün katı olmalı, ancak 2'nin veya 3'ün daha yüksek kuvvetlerinin (9 gibi) katı olmamalıdır.
2
x = 3k ve y = 4m dönüşümlerini yapın. EBOB özelliklerinden dolayı k ve m sayılarının hangi sayılarla aralarında asal olması gerektiğini bulun.
3
A kümesindeki elemanların hepsi 3'ün katı ve tek sayıdır (2'ye bölünmezler). B kümesindeki elemanların hepsi 4'ün katıdır (çift sayılardır). Bu durum kesişim kümesi hakkında ne söyler?

Daha Fazla Pratik

EBOB yerine EKOK koşulu verilen benzer bir küme problemi çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kümelerin elemanlarını tek tek listeleyerek de çözüm yapılabilir, ancak sayılar az olduğu için bu yöntem güvenilirdir: A={3, 15, 21...}, B={4, 20, 28...}
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Kavramı ve Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru