Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Şekilde verilen ABCDABCD dik yamuğu, [AD][AD] kenarı eksen kabul edilerek 360∘360^{\circ} döndürülüyor.

∣AB∣=2|AB| = 2 cm, ∣DC∣=5|DC| = 5 cm ve ∣AD∣=4|AD| = 4 cm olduğuna göre, oluşan cismin tüm yüzey alanı kaç π\pi cm 2^2'dir?

  1. A
    35
  2. B
    52
  3. C
    57
  4. D
    60
  5. 64Cevap

Cevap

Oluşan cismin tüm yüzey alanı 64π64\pi cm 2^2'dir.
Doğru cevap, kesik koninin yanal alanı (35π35\pi), üst taban alanı (4π4\pi) ve alt taban alanının (25π25\pi) toplamı olan 64π64\pi değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Oluşan cismi tanımlama
Dik yamuğun dik kenarı etrafında döndürülmesiyle bir 'Kesik Koni' oluşur. Üst taban yarıçapı r1=2r_1 = 2 cm, alt taban yarıçapı r2=5r_2 = 5 cm ve yükseklik h=4h = 4 cm'dir.
Dönme eksenine dik olan kenarlar taban yarıçaplarını, paralel olan kenar ise yüksekliği oluşturur.
2
Ana doğru (yanal ayrıt) uzunluğunu (ll) bulma
l2=h2+(r2−r1)2l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2 formülünden l2=42+(5−2)2=16+9=25l^2 = 4^2 + (5-2)^2 = 16 + 9 = 25 bulunur. Buradan l=5l = 5 cm'dir.
Yanal alanı bulmak için Pisagor bağıntısı kullanılarak eğik kenar uzunluğu hesaplanmalıdır.
3
Yanal alanı hesaplama
Yanal Alan = π⋅(r1+r2)⋅l=π⋅(2+5)⋅5=35π\pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot l = \pi \cdot (2 + 5) \cdot 5 = 35\pi cm 2^2.
Kesik koninin yanal alanı, taban çevreleri toplamının yarısı ile ana doğrunun çarpımıdır.
4
Taban alanlarını hesaplama ve toplama
Üst Taban Alanı = πr12=4π\pi r_1^2 = 4\pi, Alt Taban Alanı = πr22=25π\pi r_2^2 = 25\pi. Toplam Alan = 35π+4π+25π=64π35\pi + 4\pi + 25\pi = 64\pi cm 2^2.
Tüm yüzey alanı, yanal alan ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Dönel Cisimler ve Kesik Koni Alanı

İpuçları

1
Dik yamuk dik kenarı etrafında döndürüldüğünde bir 'kesik koni' oluşur. Bu cismin yüzey alanı; yanal yüzey, alt taban ve üst tabandan oluşur.
2
Yanal alanı bulmak için cismin 'ana doğrusunu' (eğik kenar uzunluğunu) bulmanız gerekir. Bunun için yamuğun içinde bir dik üçgen oluşturup Pisagor bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Aynı cismin hacmini soran bir soru çözerek alan ve hacim formülleri arasındaki farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Büyük bir koniden küçük bir koninin çıkarılması mantığıyla da alan hesaplanabilir, ancak bu yöntemde benzerlik oranı (2/52/5) kullanılarak büyük koninin yanal alanı hesaplanıp küçük koninin yanal alanı çıkarılmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru