Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde bir TT fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır:

Her nn pozitif tam sayısı için T(n)T(n); nn sayısından başlayarak ardışık nn tane tam sayının toplamına eşittir.

Örneğin; T(3)=3+4+5=12T(3) = 3 + 4 + 5 = 12 ve T(4)=4+5+6+7=22T(4) = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 dir.

Buna göre, T(n)−T(n−1)=223T(n) - T(n-1) = 223 eşitliğini sağlayan nn tam sayısı kaçtır?

  1. A
    74
  2. 75Cevap
  3. C
    111
  4. D
    112
  5. E
    223

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 75'tir.
Soruda verilen tanıma göre T(n)T(n), ilk terimi nn olan ve nn tane ardışık sayıdan oluşan bir dizinin toplamıdır. Bu toplam Gauss yöntemiyle Terim Sayısı2(I˙lk Terim+Son Terim)\frac{\text{Terim Sayısı}}{2}(\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}) şeklinde ifade edilebilir. T(n)=n2(n+2n−1)=3n2−n2T(n) = \frac{n}{2}(n + 2n-1) = \frac{3n^2-n}{2} formülü elde edilir. Aynı mantıkla T(n−1)=3(n−1)2−(n−1)2T(n-1) = \frac{3(n-1)^2-(n-1)}{2} bulunur. Bu iki ifadenin farkı alındığında sonuç 3n−23n-2 çıkar. 3n−2=2233n-2 = 223 denklemi çözüldüğünde n=75n=75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
T(n) ve T(n-1) ifadelerini açık biçimde yaz.
T(n)=n+(n+1)+⋯+(2n−1)T(n) = n + (n+1) + \dots + (2n-1) ve T(n−1)=(n−1)+n+⋯+(2n−3)T(n-1) = (n-1) + n + \dots + (2n-3)
Tanım gereği T(n), n'den başlayan n terimi; T(n-1) ise (n-1)'den başlayan (n-1) terimi toplar.
2
İki ifade arasındaki farkı terim terim analiz et veya formülleştir.
T(n)T(n) ifadesinde nn terim, T(n−1)T(n-1) ifadesinde n−1n-1 terim vardır. Ortak terimler çıkarıldığında geriye kalan ilişki bulunur.
Cebirsel çıkarma işlemi çözümün anahtarıdır.
3
Alternatif olarak Gauss toplam formülünü uygula.
T(n)=n2(n+2n−1)=3n2−n2T(n) = \frac{n}{2}(n + 2n - 1) = \frac{3n^2 - n}{2}
Ardışık sayıların toplam formülü: (Terim Sayısı / 2) * (İlk Terim + Son Terim).
4
T(n) ve T(n-1) için genel denklemi kur ve farkı hesapla.
T(n)−T(n−1)=3n2−n2−3(n−1)2−(n−1)2=3n−2T(n) - T(n-1) = \frac{3n^2 - n}{2} - \frac{3(n-1)^2 - (n-1)}{2} = 3n - 2
İşlemler yapıldığında farkın her zaman 3n−23n - 2 olduğu görülür.
5
Bulunan cebirsel ifadeyi verilen sayıya eşitle ve n'i bul.
3n−2=223⇒3n=225⇒n=753n - 2 = 223 \Rightarrow 3n = 225 \Rightarrow n = 75
Sonuç denkleminin çözümü.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde genel terim bulma ve cebirsel fark hesabı.

İpuçları

1
Önce T(n)T(n) ifadesini açık bir şekilde, terimleri görerek yazmaya çalışın: T(n)=n+(n+1)+...T(n) = n + (n+1) + ...
2
T(n)T(n) toplamında nn tane terim vardır ve son terim (2n−1)(2n-1)'dir. Ardışık sayılar toplam formülünü kullanarak T(n)T(n)'i nn cinsinden cebirsel bir ifadeye dönüştürün.
3
T(n)=3n2−n2T(n) = \frac{3n^2 - n}{2} eşitliğini bulduktan sonra, nn yerine (n−1)(n-1) koyarak T(n−1)T(n-1)'i bulun ve birbirinden çıkarın.

Alternatif Yöntem

Terimler alt alta yazılıp çıkarılabilir: T(n)T(n) toplamındaki terimler: n,n+1,...,2n−2,2n−1n, n+1, ..., 2n-2, 2n-1. T(n−1)T(n-1) terimleri: n−1,n,...,2n−3n-1, n, ..., 2n-3. Çıkarma yapıldığında ortak olan nn den 2n−32n-3'e kadar olan kısım değil, terim kaydırmasıyla sadeleştirme yapılabilir. T(n)−T(n−1)=[(2n−2)+(2n−1)]−(n−1)=4n−3−n+1=3n−2T(n) - T(n-1) = [(2n-2) + (2n-1)] - (n-1) = 4n - 3 - n + 1 = 3n - 2.
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru