Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım

A={x∈Z:∣x+2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 2| \le 3\} ve B={y∈Z:∣y−1∣≤4}B = \{y \in \mathbb{Z} : |y - 1| \le 4\} kümeleri veriliyor.

Buna göre, analitik düzlemde grafiği çizilen A×BA \times B kümesinin tüm elemanlarını içine alan en küçük dairenin yarıçapı kaç birimdir?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Cevap
  4. D
    7
  5. E
    10

Cevap

En küçük dairenin yarıçapı 5 birimdir.
Verilen mutlak değer eşitsizlikleri çözüldüğünde, A kümesi [−5,1][-5, 1] aralığında (uzunluk 6), B kümesi [−3,5][-3, 5] aralığında (uzunluk 8) değerler alır. A×BA \times B kümesi bu sınırlar içinde bir dikdörtgensel bölge oluşturur. Bu dikdörtgeni içine alan en küçük dairenin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir. Pisagor teoreminden köşegen 62+82=10\sqrt{6^2 + 8^2} = 10 birim bulunur. Yarıçap ise çapın yarısı olduğundan 5 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve sayı doğrusundaki uzunluğunu belirle.
∣x+2∣≤3⇒−3≤x+2≤3⇒−5≤x≤1|x + 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x + 2 \le 3 \Rightarrow -5 \le x \le 1. Bu aralığın uzunluğu 1−(−5)=61 - (-5) = 6 birimdir.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x'in alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını ve sayı doğrusundaki uzunluğunu belirle.
∣y−1∣≤4⇒−4≤y−1≤4⇒−3≤y≤5|y - 1| \le 4 \Rightarrow -4 \le y - 1 \le 4 \Rightarrow -3 \le y \le 5. Bu aralığın uzunluğu 5−(−3)=85 - (-3) = 8 birimdir.
Benzer şekilde y'nin aralığını belirlemek gerekir.
3
A x B kümesinin analitik düzlemde oluşturduğu dikdörtgensel bölgenin boyutlarını analiz et.
Noktalar yatayda 6 birim, dikeyde 8 birim genişliğinde bir dikdörtgen bloğu oluşturur.
Kartezyen çarpım grafiği, bu aralıklardaki tam sayı ikililerinden oluşur.
4
Tüm noktaları içine alan en küçük dairenin yarıçapını hesapla.
Dikdörtgenin köşegeni dairenin çapı olacaktır. Çap = 62+82=36+64=100=10\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. Yarıçap = 10/2=510 / 2 = 5.
En uzak iki nokta arasındaki mesafe (köşegen) çapı verir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin grafiği, bileşen kümelerinin sınırlarının oluşturduğu dikdörtgensel bölgeyi doldurur. Bu kümeyi kapsayan en küçük daire, bu dikdörtgenin çevrel çemberidir.

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek veya aralıklarını bularak sayı doğrusundaki uzunluklarını belirleyin.
2
A×BA \times B kümesinin elemanları analitik düzlemde bir dikdörtgen prizması (ızgara) oluşturur. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları 6 ve 8 birimdir.
3
Bir dikdörtgeni içine alan en küçük dairenin çapı, o dikdörtgenin köşegenidir. 6-8-10 üçgenini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç boyutlu uzayda (A x B x C) kümesini kapsayan en küçük kürenin yarıçapını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Mutlak değer eşitsizliği ∣x−a∣≤r|x-a| \le r formundadır ve buradaki rr aslında o boyuttaki 'yarıçap' gibidir. A kümesinin yarıçapı 3, B kümesinin yarıçapı 4'tür. İki boyutlu uzayda bileşke yarıçap R=32+42=5R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 formülüyle de bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru