Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bir ABCABC eşkenar üçgeninin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için ∣AP∣=6|AP| = 6 cm, ∣BP∣=8|BP| = 8 cm ve ∣CP∣=10|CP| = 10 cm eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, m(APB^)m(\widehat{APB}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    120
  2. B
    135
  3. C
    140
  4. 150Cevap
  5. E
    160

Cevap

150 derece
Sorunun çözümü için APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında 60∘60^\circ döndürmek gerekir. Bu işlem sonucunda bir kenarı 6 cm olan yeni bir eşkenar üçgen ve kenarları 6-8-10 cm olan bir dik üçgen oluşur. İstenen açı, bu iki üçgenin tepe açılarının toplamı olan 60∘+90∘=150∘60^\circ + 90^\circ = 150^\circ değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında saat yönünün tersine 60∘60^\circ döndürerek AP′BAP'B üçgenini oluşturun.
∣AP′∣=6|AP'| = 6, ∣P′B∣=10|P'B| = 10 ve m(PAP′^)=60∘m(\widehat{PAP'}) = 60^\circ elde edilir.
Eşkenar üçgen sorularında döndürme yöntemiyle bilinen uzunlukları bir araya getirmek çözüm için stratejik bir yaklaşımdır.
2
PP ve P′P' noktalarını birleştirerek APP′APP' üçgenini analiz edin.
APP′APP' üçgeni, tepe açısı 60∘60^\circ olan bir ikizkenar üçgen olduğu için eşkenardır. Dolayısıyla ∣PP′∣=6|PP'| = 6 cm ve m(APP′^)=60∘m(\widehat{APP'}) = 60^\circ olur.
Aradaki açısı 60∘60^\circ olan ikizkenar üçgen her zaman eşkenardır.
3
BPP′BPP' üçgeninin kenar uzunluklarını inceleyin (∣BP∣=8|BP|=8, ∣PP′∣=6|PP'|=6, ∣P′B∣=10|P'B|=10).
62+82=36+64=100=1026^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 olduğundan, Pisagor teoreminin tersi gereği BPP′BPP' üçgeni dik üçgendir ve m(BPP′^)=90∘m(\widehat{BPP'}) = 90^\circ dir.
Kenar uzunlukları 6-8-10 olan bir üçgen dik üçgendir.
4
İstenen m(APB^)m(\widehat{APB}) açısını bulmak için parçaları toplayın.
m(APB^)=m(APP′^)+m(BPP′^)=60∘+90∘=150∘m(\widehat{APB}) = m(\widehat{APP'}) + m(\widehat{BPP'}) = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ.
Toplam açı, oluşturulan iki açının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bu soru, eşkenar üçgen içindeki bir noktanın uzaklıkları verildiğinde döndürme (rotasyon) yöntemi kullanılarak özel üçgenler (eşkenar ve dik üçgen) elde edilmesini ve Pisagor teoreminin uygulanmasını gerektirir.

İpuçları

1
Bu tür sorularda, verilen uzunlukları bir araya getirmek için üçgenin bir parçasını kesip döndürerek yapıştırmayı deneyin.
2
APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında 60∘60^\circ döndürerek, ABAB kenarı üzerine gelecek şekilde yeni bir üçgen oluşturun.
3
Döndürme sonucunda oluşan yeni üçgenin kenarlarını inceleyin. Bir eşkenar üçgen ve kenarları 6, 8, 10 olan bir üçgen göreceksiniz. 6-8-10 üçgeninin açısı size cevabı verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çözülen, kare içinde alınan bir nokta ile ilgili 3-4-5 üçgeni sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir: △APB\triangle APB, △BPC\triangle BPC ve △CPA\triangle CPA içinde PP açısına bağlı kosinüs teoremleri yazılıp, toplamlarının 360∘360^\circ olması şartıyla denklem sistemi çözülebilir, ancak bu yöntem döndürme yöntemine göre çok daha uzun ve karmaşıktır.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru