Şekildeki ABC üçgeninde m(\widehat{ABC}) > 90^\circ olduğu bilinmektedir. [BC] kenarının u… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğu bilinmektedir. $[BC]$ kenarının uzantısı üzerine $A$ köşesinden indirilen dikmenin ayağı $H$ noktasıdır.

$[AH] \perp [HC]$ , $|AH| = 12\text{ cm}$ ve $|BC| = 15\text{ cm}$ olarak verilmiştir.

$ABC$ üçgeni içinde, $[BC]$ kenarına paralel olacak şekilde çizilen $[DE]$ doğru parçası, kenarları $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktalarında kesmektedir.

$|AD| = 2|DB|$ olduğuna göre, $DBCE$ dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

A
30
B
40
50Cevap
D
80
E
100

Cevap

DBCE dörtgeninin alanı 50 cm² dir.

Öncelikle ABC üçgeninin alanı (15*12)/2 = 90 cm² olarak bulunur. |AD|=2|DB| bilgisinden benzerlik oranı k=2/3 olarak tespit edilir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (k²) olduğundan, Alan(ADE)/Alan(ABC) = 4/9 olur. Buradan Alan(ADE) = 40 cm² bulunur. İstenen DBCE dörtgeninin alanı ise tüm alandan bu parçanın çıkarılmasıyla 90 - 40 = 50 cm² olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Büyük üçgenin (ABC) alanını hesapla.

Alan(ABC) = (Taban × Yükseklik) / 2 = (15 × 12) / 2 = 90 cm²

Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dışına düşebilir; taban |BC| ve yükseklik |AH| kullanılarak alan bulunur.

ADE ve ABC üçgenleri arasındaki benzerlik oranını (k) belirle.

k = |AD| / |AB| = 2k / (2k + k) = 2/3

|AD| = 2|DB| verildiği için toplam kenar |AB| = 3 birim kabul edilir. Paralellikten dolayı temel benzerlik teoremi uygulanır.

Alanların oranını bulmak için benzerlik oranının karesini al.

Alan Oranı = k² = (2/3)² = 4/9

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Küçük üçgenin (ADE) alanını hesapla.

Alan(ADE) = Alan(ABC) × (4/9) = 90 × (4/9) = 40 cm²

Bulunan alan oranı büyük üçgenin alanına uygulanır.

İstenen dörtgenin (DBCE) alanını bulmak için çıkarma işlemi yap.

Alan(DBCE) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 90 - 40 = 50 cm²

Büyük üçgenin alanından tepedeki küçük üçgenin alanı çıkarılarak alttaki yamuğun alanı bulunur.

Anahtar Kavram

Benzerlik Alan İlişkisi (k -> k²)

İpuçları

Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dış bölgesinde olabilir. Önce büyük üçgenin (ABC) alanını hesaplayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Çözüm Destekleyici Görseli

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Konular

Bu konudan daha fazla soru