(x^3 - y^2)^n ifadesinin x ve y değişkenlerine göre açılımında terimlerden biri k \cdot x^… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

(x^3 - y^2)^n

ifadesinin

x

y

değişkenlerine göre açılımında terimlerden biri

k \cdot x^{12} \cdot y^6

(

k

bir gerçel sayı) olduğuna göre, bu açılımdaki terim sayısı kaçtır?

Verilen binom açılımındaki terim sayısı 8'dir.

Verilen terimdeki üsler incelendiğinde,

x^3

ifadesinin 4. kuvvetinin ve

y^2

ifadesinin 3. kuvvetinin çarpıldığı görülür. Bu durum, binom açılımındaki n-r ve r değerlerinin toplamının

4+3=7

olduğunu gösterir. n=7 olan bir açılımda ise toplam terim sayısı n+1 formülünden dolayı 8 olarak bulunur.

Genel terim formülünü yazma

T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-y^2)^r

Binom açılımındaki herhangi bir terimin yapısını analiz etmek için genel terim formülü kullanılır.

Değişkenlerin üslerini düzenleme

T_{r+1} = \binom{n}{r} \cdot (-1)^r \cdot x^{3(n-r)} \cdot y^{2r}

Verilen terimdeki üslerle karşılaştırma yapabilmek için üslü ifade kuralları uygulanır.

Üsleri verilen terimle eşitleme

3(n-r) = 12 \Rightarrow n-r = 4

2r = 6 \Rightarrow r = 3

Verilen terimdeki x'in üssü 12 ve y'nin üssü 6 olduğu için denklemler kurulur.

n değerini bulma

n = 4 + 3 = 7

n-r ve r değerleri toplandığında açılımın ana kuvveti olan n değeri elde edilir.

Toplam terim sayısını hesaplama

n + 1 = 7 + 1 = 8

Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına (n+1) eşittir.

Binom açılımında genel terim ve terim sayısı özellikleri

Genel terim formülünü hatırlayın:

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

x^{12}

elde etmek için

(x^3)

ifadesinin kaçıncı kuvveti alınmalıdır?

x'in üssü olan 12'yi 3'e, y'nin üssü olan 6'yı 2'ye bölerek n-r ve r değerlerini bulun, ardından n+1'i hesaplayın.

Katsayılar toplamı ve sabit terim bulma kurallarını tekrar ederek bu soru tipini pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru