Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

1'den başlayan ilk nn ardışık tek doğal sayının toplamı TT, 2'den başlayan ilk mm ardışık çift doğal sayının toplamı C\cÇ olarak tanımlanmıştır.

C\c−T=41 Ç - T = 41
m−n=2 m - n = 2

Bu bilgilere göre, T+C\cT + Ç toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    119
  2. B
    129
  3. 139Cevap
  4. D
    149
  5. E
    159

Cevap

Doğru cevap 139'dur.
Ardışık tek ve çift sayıların toplam formülleri ile kurulan cebirsel denklemin çözülmesi gerekir. nn terimli tek sayıların toplamı n2n^2, mm terimli çift sayıların toplamı m(m+1)m(m+1)'dir. m=n+2m=n+2 bağıntısı kullanılarak denklem çözüldüğünde n=7n=7 ve m=9m=9 bulunur. Buradan T=49T=49 ve C\c=90Ç=90 elde edilir; toplamları 139'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Tek ve çift sayıların toplam formüllerini değişkenler cinsinden yaz.
T=1+3+⋯+(2n−1)=n2T = 1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2 ve C\c=2+4+⋯+2m=m(m+1)Ç = 2 + 4 + \dots + 2m = m(m+1)
Ardışık tek sayıların toplamı n2n^2, ardışık çift sayıların toplamı m(m+1)m(m+1) formülü ile bulunur.
2
Verilen ikinci eşitliği (m−n=2m-n=2) kullanarak formülleri tek değişkene indirge.
m=n+2m = n + 2 olduğu için C\c=(n+2)(n+3)Ç = (n+2)(n+3) olur.
İki bilinmeyenli denklemi çözebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
3
Elde edilen ifadeleri fark denkleminde (C\c−T=41Ç - T = 41) yerine koy ve nn değerini bul.
(n+2)(n+3)−n2=41⇒(n2+5n+6)−n2=41⇒5n=35⇒n=7(n+2)(n+3) - n^2 = 41 \Rightarrow (n^2 + 5n + 6) - n^2 = 41 \Rightarrow 5n = 35 \Rightarrow n = 7
Denklem çözülerek terim sayısı bulunur.
4
nn ve mm değerlerini kullanarak TT ve C\cÇ değerlerini hesapla.
n=7n=7 ise T=72=49T = 7^2 = 49. m=7+2=9m = 7+2=9 ise C\c=9(10)=90Ç = 9(10) = 90.
Toplam değerlerini bulmak için bulunan terim sayıları formüllerde yerine yazılır.
5
Sonuçları topla.
T+C\c=49+90=139T + Ç = 49 + 90 = 139
Soruda istenen nihai toplam değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Ardışık tek sayıların toplamı n2n^2, ardışık çift sayıların toplamı n(n+1)n(n+1) formülleriyle hesaplanır.

İpuçları

1
1'den başlayan nn tane ardışık tek sayının toplamı n2n^2, 2'den başlayan mm tane ardışık çift sayının toplamı m(m+1)m(m+1) formülüyle bulunur.
2
m−n=2m - n = 2 eşitliğinden mm yerine n+2n+2 yazarak, C\cÇ formülünü nn cinsinden ifade edin.
3
(n+2)(n+3)−n2=41(n+2)(n+3) - n^2 = 41 denklemini açarak nn'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Ardışık sayıların toplamında Gauss metodunun (n(n+1)2 \frac{n(n+1)}{2} ) kullanıldığı genel aritmetik dizi sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmakta zorlanıyorsanız, şıklardan veya tahminden gitmek yerine farkın 41 olmasını sağlayan kare sayı (n2n^2) ve dikdörtgensel sayı (m(m+1)m(m+1)) çiftlerini arayabilirsiniz. Örneğin n=5n=5 için T=25T=25, m=7m=7 için C\c=56Ç=56, fark 31 (az). nn sayısını biraz artırın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru