Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

99 tane ardışık tek tam sayının toplamı xx olduğuna göre, bu sayıların en küçüğünün xx türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. x−729\frac{x - 72}{9}Cevap
  2. B
    x−369\frac{x - 36}{9}
  3. C
    x+729\frac{x + 72}{9}
  4. D
    x−189\frac{x - 18}{9}
  5. E
    x−89\frac{x - 8}{9}

Cevap

En küçük sayının xx cinsinden ifadesi x−729\frac{x - 72}{9} şeklindedir.
En küçük terime nn dendiğinde, 9 tane ardışık tek sayı nn ile n+16n+16 arasındadır. Bu terimlerin toplamı 9n+729n + 72 yapar. Toplam xx olduğuna göre 9n+72=x9n + 72 = x denkleminden n=(x−72)/9n = (x-72)/9 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri en küçük sayı cinsinden tanımlayın.
n,n+2,n+4,n+6,n+8,n+10,n+12,n+14,n+16n, n+2, n+4, n+6, n+8, n+10, n+12, n+14, n+16
Ardışık tek sayılar arasındaki fark daima 2'dir.
2
Tanımlanan terimleri toplayarak xx değerine eşitleyin.
9n+(2+4+6+8+10+12+14+16)=x9n + (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16) = x
9 adet nn terimi ve her birinin ilk terime göre olan fazlalıkları toplanır.
3
Fazlalıkların toplamını hesaplayın.
2×(1+2+3+4+5+6+7+8)=2×8×92=722 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 2 \times \frac{8 \times 9}{2} = 72
Gauss toplam formülü kullanılarak çift sayıların toplamı bulunur.
4
Denklemi nn değerini yalnız bırakacak şekilde çözün.
9n+72=x⇒9n=x−72⇒n=x−7299n + 72 = x \Rightarrow 9n = x - 72 \Rightarrow n = \frac{x - 72}{9}
En küçük sayı olan nn, toplamdan fazlalıklar çıkarılıp terim sayısına bölünerek bulunur.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde toplam, (Terim Sayısı ×\times Ortanca Terim) formülü ile veya her terimi ilk terim cinsinden yazarak bulunabilir.

İpuçları

1
En küçük sayıya nn diyerek diğer sayıları nn cinsinden yazmayı deneyin.
2
Ardışık tek sayılar n,n+2,n+4...n, n+2, n+4... şeklinde devam eder. 9. sayı n+16n+16 olacaktır.
3
Tüm sayıları topladığınızda 9n+72=x9n + 72 = x denklemini elde edersiniz. Buradan nn'yi çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu ardışık çift sayılar veya belirli bir katın katları olan sayılar için çözerek kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ortanca terim üzerinden çözüm yapılabilir. 9 terimli bir dizinin toplamı xx ise ortanca (5.) terim x/9x/9'dur. En küçük (1.) terim ortancadan 4 basamak geridedir. Her basamakta 2 azaldığı için en küçük terim: (x/9)−(4×2)=(x/9)−8=(x−72)/9(x/9) - (4 \times 2) = (x/9) - 8 = (x - 72)/9 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru