Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkizkenar ve Eşkenar Üçgen

|AB| = |AC| olan ABC ikizkenar üçgeninde, [BC] tabanı üzerinde bir D noktası alınıyor. D noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen dikmelerin ayakları sırasıyla E ve F noktalarıdır.

|DE| = 4 cm, |DF| = 8 cm ve |BC| = 15 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm² dir?

  1. A
    60
  2. B
    72
  3. 75Cevap
  4. D
    90
  5. E
    96

Cevap

ABC üçgeninin alanı 75 cm² dir.
Verilen dikmelerin uzunlukları ve taban uzunluğu kullanılarak üçgenin açıları ve yüksekliği belirlenebilir. Benzerlikten |BD|=5 cm bulunur, bu da B açısının sinüsünün 4/5 olduğunu gösterir. Buradan tabana ait yükseklik 10 cm olarak hesaplanır ve alan (15*10)/2 = 75 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranını kullanarak taban parçalarını bulunuz.
|BD| = 5 cm, |DC| = 10 cm
EBD ve FCD dik üçgenlerinde B ve C açıları eşittir. sin(B) = 4/|BD| ve sin(C) = 8/|DC|. Oran 1/2 olduğundan |DC|=2|BD| olur. Toplam 15 cm olduğundan parçalar 5 ve 10 cm'dir.
2
Taban açısının trigonometrik değerini hesaplayınız.
sin(B) = 4/5
EBD üçgeninde karşı/hipotenüs oranı 4/5'tir. Bu 3-4-5 üçgeni olduğunu gösterir, yani tan(B) = 4/3 olur.
3
Üçgenin tabana ait yüksekliğini (h_a) hesaplayınız.
h_a = 10 cm
Tabana ait yükseklik h_a çizildiğinde, tabanı iki eş parçaya böler (|BH|=7.5). h_a = |BH| * tan(B) = 7.5 * (4/3) = 10 cm.
4
Üçgenin alanını hesaplayınız.
Alan = 75 cm²
Alan = (Taban * Yükseklik) / 2 = (15 * 10) / 2 = 75 cm².

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan eş kenarlara çizilen dikmelerle ilgili özellikler ve trigonometrik oranlar.

İpuçları

1
D noktasından kenarlara çizilen dik üçgenlere (EBD ve FCD) odaklanın. B ve C açılarının eşit olması bu üçgenler arasında nasıl bir ilişki kurar?
2
|DE|=4 ve |DF|=8 olduğuna göre, |BD| ve |DC| uzunlukları arasında 1'e 2 oranı vardır. Toplamları 15 cm olduğuna göre bu parçaların uzunluklarını bulabilirsiniz.
3
|BD|=5 cm bulduysanız, EBD üçgeninin 3-4-5 üçgeni olduğunu fark edebilirsiniz. Bu durumda B açısının tanjantı 4/3 olur. Tabana inen yüksekliği bulmak için bunu kullanın.

Alternatif Yöntem

Yan kenara ait yükseklik h_b = |DE| + |DF| = 12 cm'dir. sin(B)=4/5 olduğundan cos(B)=3/5'tir. Tabana inilen dikme tabanı 7.5 cm böler. Yan kenar |AB| = 7.5 / cos(B) = 7.5 / (3/5) = 12.5 cm bulunur. Alan = (12.5 * 12) / 2 = 75 cm².
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Bu konudan daha fazla soru