Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Alan

AB ⊥\perp BC olacak şekilde verilen ABC dik üçgeninde, [AD] doğru parçası BAC^\widehat{BAC} açısına ait iç açıortaydır. D∈[BC]D \in [BC] olmak üzere, ∣BD∣=6|BD| = 6 cm ve ∣DC∣=10|DC| = 10 cm olduğuna göre, boyalı ADC üçgeninin alanı kaç cm 2^2'dir?

  1. A
    36
  2. B
    48
  3. 60Cevap
  4. D
    72
  5. E
    96

Cevap

ADC üçgeninin alanı 60 cm²'dir.
İç açıortay teoremi gereği kenarlar 3k ve 5k orantılıdır. Pisagor bağıntısından (3k, 16, 5k) üçgeninin 12-16-20 üçgeni olduğu bulunur. Yükseklik 12 cm, taban 10 cm olduğundan alan 60 cm²'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini uygula.
∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=610=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. Buna göre ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k denilebilir.
Üçgende iç açıortay, karşı kenarı diğer kenarların oranına göre böler.
2
Pisagor bağıntısı ile kk değerini bul.
(3k)2+(6+10)2=(5k)2⇒9k2+162=25k2⇒256=16k2⇒k2=16⇒k=4(3k)^2 + (6+10)^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 16^2 = 25k^2 \Rightarrow 256 = 16k^2 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4.
ABC üçgeni dik üçgen olduğu için dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
3
Dik kenar uzunluğunu (∣AB∣|AB|) hesapla.
∣AB∣=3k=3×4=12|AB| = 3k = 3 \times 4 = 12 cm.
Alan hesabı için yüksekliğe ihtiyaç vardır.
4
ADC üçgeninin alanını hesapla.
Alan(ADC) = ∣DC∣×∣AB∣2=10×122=60\frac{|DC| \times |AB|}{2} = \frac{10 \times 12}{2} = 60 cm 2^2.
Geniş açılı veya parçalı üçgenlerde yükseklik üçgenin dışında olabilir; ADC üçgeninin [DC] tabanına ait yükseklik [AB] kenarıdır.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Dik Üçgende Alan

İpuçları

1
Önce A açısına ait iç açıortay teoremini kullanarak AB ve AC kenarları arasında bir oran kurun.
2
Kenarlara 3k ve 5k diyerek Pisagor bağıntısını uygulayın (Dik kenarlar: AB ve BC). BC uzunluğunun 6 + 10 = 16 olduğunu unutmayın.
3
AB kenarını bulduktan sonra, bu kenarın aslında ADC üçgeninin DC tabanına ait yüksekliği olduğunu fark edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla dış açıortay teoremi içeren alan soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm alan hesaplanıp (96), tabanlar oranına (6/10) göre paylaştırılabilir: 6S + 10S = 96 => 16S = 96 => S=6. Alan(ADC) = 10S = 60.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru