Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı xx ve yy değişkenleri için,
∣x−2∣≤3|x - 2| \le 3
∣y+1∣≤2|y + 1| \le 2
eşitsizlikleri veriliyor.

Bu koşulları sağlayan (x,y)(x, y) sıralı ikililerinin analitik düzlemde oluşturduğu kapalı bölgenin, y≤xy \le x eşitsizliğini sağlayan parçasının alanı kaç birimkaredir?

  1. 22Cevap
  2. B
    24
  3. C
    12
  4. D
    2
  5. E
    26

Cevap

İstenen bölgenin alanı 22 birimkaredir.
Verilen eşitsizlikler analitik düzlemde köşeleri (−1,−3)(-1, -3), (5,−3)(5, -3), (5,1)(5, 1) ve (−1,1)(-1, 1) olan bir dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin toplam alanı 24 birimkaredir. y≤xy \le x koşulu, y=xy=x doğrusunun alt tarafını ifade eder. Bu doğru dikdörtgenin sol üst köşesinden bir üçgen keser. Kesilen bu üçgenin (y>xy > x olduğu bölge) alanı 2 birimkaredir. Dolayısıyla geriye kalan alan 24−2=2224 - 2 = 22 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer eşitsizliklerini çözerek xx ve yy değişkenlerinin sınırlarını belirle.
∣x−2∣≤3⇒−1≤x≤5|x - 2| \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5 ve ∣y+1∣≤2⇒−3≤y≤1|y + 1| \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1.
Kartezyen çarpım kümesinin (dikdörtgenin) analitik düzlemdeki sınırlarını çizmek için.
2
Oluşan dikdörtgenin toplam alanını hesapla.
Yatay uzunluk 5−(−1)=65 - (-1) = 6 birim, dikey uzunluk 1−(−3)=41 - (-3) = 4 birim. Toplam Alan = 6×4=246 \times 4 = 24 birimkare.
Tüm olasılık uzayının büyüklüğünü bulmak için.
3
y≤xy \le x doğrusunun dikdörtgeni kestiği noktaları ve koşulu SAĞLAMAYAN (y>xy > x) bölgeyi tespit et.
Doğru dikdörtgeni (−1,−1)(-1, -1) ve (1,1)(1, 1) noktalarında keser. y>xy > x olan kısım, köşeleri (−1,−1)(-1, -1), (1,1)(1, 1) ve (−1,1)(-1, 1) olan dik üçgendir.
Çıkarılacak alanı geometrik olarak modellemek için.
4
Dışarıda kalan üçgenin alanını toplam alandan çıkar.
Üçgenin dik kenarları 2'şer birimdir. Alanı = (2×2)/2=2(2 \times 2)/2 = 2 birimkare. Sonuç = 24−2=2224 - 2 = 22.
Sadece istenen koşulu sağlayan bölgenin alanına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım Bölgesi ve Lineer Eşitsizlikler

İpuçları

1
Öncelikle mutlak değer eşitsizliklerini çözerek xx ve yy'nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulun.
2
Bulduğunuz sınırlarla analitik düzlemde bir dikdörtgen çizin ve bu dikdörtgenin toplam alanını hesaplayın.
3
y=xy=x doğrusunu çizin. Bu doğrunun dikdörtgenin içinde kalan kısmının üzerinde (y>xy > x) kalan küçük üçgeni belirleyin ve bu üçgenin alanını toplam alandan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, kartezyen çarpım kümesi bir daire veya üçgen oluşturacak şekilde kurgulayarak çözün.

Alternatif Yöntem

İntegral kullanarak veya yamuk alanı formülüyle de hesaplanabilir: x=−1x=-1 ile x=1x=1 arasında yamuk, x=1x=1 ile x=5x=5 arasında dikdörtgen oluşur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru